Verifique a convergência das seguintes séries
(j) sum n!n^n

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar a convergência da série
sumn=1^infty n!n^n
Isso faz parte de “séries numéricas” e, para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta padrão pra dizer se uma série converge ou diverge olhando o quociente dos termos consecutivos.

Passo 2

Antes de aplicar, lembra do que diz o Teste da Razão? Se
L = limntoinfty |an+1an|
então:
  • Se an = n!n^n , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
    Aqui nosso termo geral é

Passo 3

Vamos montar o quociente an+1an = (n+1)!(n+1)^,n+1n!n^n = (n+1)!(n+1)^n+1;cdot;n^nn! :
an+1an = (n+1),n^n(n+1)^n+1 = n^n(n+1)^n = l(tfracnn+1r)^!n
Como , dá

Passo 4

Agora, o limite quando L = limntoinfty l(tfracnn+1r)^!n = limntoinfty l(1 - tfrac1n+1r)^!n = e^-1 ,approx,0,3679 :
Como , o Teste da Razão diz que nossa série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge (pela convergência absoluta via Teste da Razão).

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