Obtenha o valor, usando séries geométricas:
(a) sumn=3^infty pi(12)^2 n-7,

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é somar uma série infinita da forma
sumn=3^infty pil(tfrac12r)^2n-7
Isso cai em “série geométrica”, que é quando cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma mesma razão S = a11 - r,desde que |r|<1 . Para resolver, vamos precisar:
  1. descobrir o primeiro termo da série (quando ),
  2. identificar a razão ,
  3. usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é

Passo 2

Primeiro termo a1 = pil(tfrac12r)^2cdot3 - 7 = pil(tfrac12r)^-1 = pi times 2 = 2pi : basta colocar na expressão

Passo 3

Agora a razão r = pil(tfrac12r)^2(n+1)-7% pil(tfrac12r)^2n-7 = l(tfrac12r)^2(n+1)-7 - (2n-7) = l(tfrac12r)^2 = 14 . Se você olhar o termo de índice dividido pelo termo de índice , dá
Como , podemos usar a fórmula da soma infinita.

Passo 4

Aplicando a fórmula
S = a11 - r = 2pi1 - tfrac14 = 2pitfrac34 = 2pi times 43 = 8pi3

Resposta

boxed8pi3

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