a. Mostre que a técnica de estruturação de polinômio descrita no Exemplo 6 pode também ser aplicada ao cálculo de
f(x)=1,01 e^4 x-4,62 e^3 x-3,11 e^2 x+12,2 e^x-1,99
b. Use a aritmética de arredondamento, com três algarismos, na hipótese que e^1.53=4,62 e o fato de que f(1,53) para calcular f(1,53)= como dado no item (a).
c. Refaça o cálculo no item (b) primeiro estruturando os cálculos.
d. Compare as aproximações do item (b) e © com o resultado verdadeiro com três algarismos -7,61 .

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre a função
f(x)=1,01,e^4x-4,62,e^3x-3,11,e^2x+12,2,e^x-1,99
Estamos vendo o conteúdo de “estruturação de polinômios” (tipo “método de Horner”), e também aritmética de arredondamento com 3 algarismos. Vamos precisar:
  • Reescrever como polinômio em .
  • Aplicar Horner para mostrar a “estruturação”.
  • Calcular com 3 dígitos, primeiro “na unha” (direto), depois estruturado, e comparar com o valor exato .

Passo 2

a) Mostrar estruturação (“Horner”):
  1. Defino f(x)=1,01,t^4-4,62,t^3-3,11,t^2+12,2,t-1,99 .
  2. Então
f(x)=l(l(l(1,01,t-4,62r)t-3,11r)t+12,2r)t-1,99
  1. Aplicando Horner, escrevo
Pronto, a “técnica de Horner” vale aqui também.

Passo 3

b) Cálculo direto (sem estruturar), com 3 dígitos e 460 - 455 - 66,2 + 56,4 - 1,99 ;approx;-6,79 :
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Agora cada termo (todos arredondados a 3 dígitos):
  6. Somando:

Passo 4

c) Cálculo estruturado (Horner), arredondando a 3 dígitos a cada passo:
Defino de novo e faço em cascata:
  1. .
Logo, estruturado dá .

Passo 5

d) Comparação com o “verdadeiro” (3 dígitos):
  • Aproximação direta: → erro .
  • Aproximação estruturada: → erro .
    O método de Horner (estruturação) foi melhor!

Resposta

Aproximações de com 3 dígitos:
  • Direto:
  • Estruturado (Horner):
    Comparando com o valor exato , a estruturação reduz o erro de para .

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