- O polinômio de Taylor de grau
para
é
. Use o polinômio de grau nove e a aritmética de truncamento, com três algarismos, para determinar uma aproximação de
por cada um dos seguintes métodos.
a.
b.
.
a.
b.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar
usando o polinômio de Taylor de grau 9 para
,
mas com “aritmética de truncamento” a 3 algarismos significativos.
Temos dois jeitos:
a) somar direto ,
b) calcular .
Vamos precisar:
Temos dois jeitos:
a) somar direto
b) calcular
Vamos precisar:
- Saber gerar os termos
. - Truncar cada resultado a 3 algarismos significativos (sem arredondar).
- Ir somando (ou no caso b, somar e depois inverter) também truncando o resultado a cada passo.
Passo 2
Método (a):
- Primeiro calculamos cada termo
e truncamos a 3 sig. dígitos:
- Agora somamos passo a passo, truncando o total a cada adição:
Soma inicial.
S_1 = 0 + 1.00 = 1.00
S_2 = 1.00 + (–5.00) = –4.00
S_3 = –4.00 + 12.5 = 8.50
S_4 = 8.50 + (–20.8) = –12.3
S_5 = –12.3 + 26.0 = 13.7
S_6 = 13.7 + (–26.0) = –12.3
S_7 = –12.3 + 21.7 = 9.40
S_8 = 9.40 + (–15.5) = –6.10
S_9 = –6.10 + 9.68 = 3.58
S_{10} = 3.58 + (–5.38) = –1.80
Então, pelo método (a), a aproximação fica
Passo 3
Método (b):
-
Calcular os termos positivos
(são iguais aos de cima sem o sinal) e truncar:
, , , , , , , , , . -
Somamos, truncando a 3 sig. dígitos a cada passo:
V_0=0
V_1 = 0 + 1.00 = 1.00
V_2 = 1.00 + 5.00 = 6.00
V_3 = 6.00 + 12.5 = 18.5
V_4 = 18.5 + 20.8 = 39.3
V_5 = 39.3 + 26.0 = 65.3
V_6 = 65.3 + 26.0 = 91.3
V_7 = 91.3 + 21.7 = 113
V_8 = 113 + 15.5 = 128
V_9 = 128 + 9.68 = 137
V_{10} = 137 + 5.38 = 142
Então o denominador aproximado é 142, e
(truncando a 3 sig. dígitos em “0.007042” dá “0.00704”).
Resposta
a)
b)
b)