1. O polinômio de Taylor de grau n para f(x)=e^x é e^-5. Use o polinômio de grau nove e a aritmética de truncamento, com três algarismos, para determinar uma aproximação de e^-5 approx sumi=0^9 (-5)^ii!=sumi=0^9 (-1)^i 5^ii! por cada um dos seguintes métodos.
    a. e^-5=1e^5 approx 1sumi=0^9 5^ii!
    b. .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar
e^-5
usando o polinômio de Taylor de grau 9 para sumi=0^9 x^ii!, ,
mas com “aritmética de truncamento” a 3 algarismos significativos.
Temos dois jeitos:
a) somar direto ,
b) calcular .
Vamos precisar:
  • Saber gerar os termos .
  • Truncar cada resultado a 3 algarismos significativos (sem arredondar).
  • Ir somando (ou no caso b, somar e depois inverter) também truncando o resultado a cada passo.

Passo 2

Método (a): e^-5approx -1.80
  1. Primeiro calculamos cada termo e truncamos a 3 sig. dígitos:









  1. Agora somamos passo a passo, truncando o total a cada adição:
    Soma inicial .
    S_1 = 0 + 1.00 = 1.00
    S_2 = 1.00 + (–5.00) = –4.00
    S_3 = –4.00 + 12.5 = 8.50
    S_4 = 8.50 + (–20.8) = –12.3
    S_5 = –12.3 + 26.0 = 13.7
    S_6 = 13.7 + (–26.0) = –12.3
    S_7 = –12.3 + 21.7 = 9.40
    S_8 = 9.40 + (–15.5) = –6.10
    S_9 = –6.10 + 9.68 = 3.58
    S_{10} = 3.58 + (–5.38) = –1.80
Então, pelo método (a), a aproximação fica

Passo 3

Método (b): e^-5approx 1142approx0.007042to0.00704
  1. Calcular os termos positivos (são iguais aos de cima sem o sinal) e truncar:
    , , , , , , , , , .
  2. Somamos, truncando a 3 sig. dígitos a cada passo:
    V_0=0
    V_1 = 0 + 1.00 = 1.00
    V_2 = 1.00 + 5.00 = 6.00
    V_3 = 6.00 + 12.5 = 18.5
    V_4 = 18.5 + 20.8 = 39.3
    V_5 = 39.3 + 26.0 = 65.3
    V_6 = 65.3 + 26.0 = 91.3
    V_7 = 91.3 + 21.7 = 113
    V_8 = 113 + 15.5 = 128
    V_9 = 128 + 9.68 = 137
    V_{10} = 137 + 5.38 = 142
Então o denominador aproximado é 142, e
(truncando a 3 sig. dígitos em “0.007042” dá “0.00704”).

Resposta

a)
b)

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