O sistema linear dois por dois
a x+b y=e, c x+d y=f,onde a, b, c, d, e, f são dados, pode ser resolvido para x e y como segue:
faça m & =ca, desde que a neq 0 ; d1 & =d-m b ; f1 & =f-m e y & =f1d1 ; x & =e-b ya ;ç

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos um sistema de duas equações e duas incógnitas
a x + b y = e, c x + d y = f,
onde são números conhecidos e queremos achar e . O conteúdo é o método de eliminação (às vezes chamado de escalonamento) para resolver sistemas 2×2. Vamos precisar de operações básicas de álgebra: multiplicar equações, subtrair equações e isolar incógnitas.

Passo 2

Primeiro, a gente vai eliminar m = ca, assumindo que aneq0 da segunda equação. Para isso, crio um número
Esse é o fator que uso para igualar o coeficiente de na segunda equação ao da primeira. Se eu multiplicar a primeira equação por , o coeficiente de vira , que é exatamente o que está na segunda equação.

Passo 3

Agora faço: (segunda equação) – d1 = d - m,b e f1 = f - m,e, ×(primeira equação). Chamando
(c x + d y) - m,(a x + b y) = f - m,e Longrightarrow 0cdot x + (d - m b),y = f1,
a conta é assim:
d1,y = f1
ou seja

Passo 4

Agora é fácil: isolo y = f1d1 = ,f - ca,e,,d - ca,b, dividindo por (pressupondo ):

Passo 5

Com x = e - b,ya determinado, volto na primeira equação para achar . A primeira equação era , então

Resposta

As fórmulas finais para o sistema
a x + b y = e, c x + d y = f
ficam
boxedx = e - b,l(f - cae,d - cab,r)a, y = ,f - ca,e,,d - ca,b,
E se você quiser a forma mais enxuta (determinantes), dá pra mostrar que
x = e,d - b,fa,d - b,c, y = a,f - c,ea,d - b,c

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