Seja Pn(x) o polinômio de Maclaurin de grau n para a função arco-tangente. Use o Maple com 75 algarismos decimais para determinar o valor de n necessário para aproximar pi com precisão de 10^-25 usando as seguintes fórmulas.
a.
b.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede para achar o menor grau l|Rn(x)r|;<=;x^2n+32n+3 do polinômio de Maclaurin de tal que, ao usar duas fórmulas para , o erro na aproximação seja menor que .
Conteúdo: série de Taylor (Maclaurin) de e critério de resto de série alternada.
O que vamos precisar:
  1. A expressão do polinômio .
  2. O termo de resto (erro) da série alternada:
  1. As fórmulas de Machin:
    a)
    b) .

Passo 2

Teoria do resto da série alternada: se
arctan x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1,
o erro de truncar até Rn(x)=arctan x-Pn(x), |Rn(x)|<=x^2n+32n+3, é
porque os termos formam uma série alternada de módulo decrescente.

Passo 3

Fórmula (a):
piaprx =4l[Pn(1/2)+Pn(1/3)r]
O erro total é
Ea=|pi-piaprx| <=4l(|Rn(1/2)|+|Rn(1/3)|r) <=4l(tfrac(1/2)^2n+32n+3+tfrac(1/3)^2n+32n+3r)
Como , o termo dominante é o de .

Passo 4

Impondo 4;(1/2)^2n+32n+3<10^-25 , basta resolver aproximadamente
(2n+3),log10!tfrac12approx -25 Longrightarrow 2n+3approx250,3010approx83 Longrightarrow napprox83-32=40
Para achar rapidamente, fazemos o seguinte chute via logaritmo na base 10 (ignorando o no denominador para estimar):
Testando em Maple com 75 dígitos confirma que ainda fica um tiquinho acima de , mas já entra.

Passo 5

Fórmula (b):
piaprx =16,Pn(1/5);-;4,Pn(1/239)
Erro total
Eb<=16,(1/5)^2n+32n+3 ;+;4,(1/239)^2n+32n+3
Aqui o termo (2n+3),log10!tfrac15approx -25 Longrightarrow 2n+3approx250,6990approx35,8 Longrightarrow napprox35,8-32approx16,4 é ridiculamente pequeno, o dominante é . Fazendo o mesmo chute:
Testes em Maple mostram que ainda não é suficiente, mas já garante .

Resposta

a) Para a fórmula precisamos de .
b) Para a fórmula basta .

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