Seja o polinômio de Maclaurin de grau para a função arco-tangente. Use o Maple com 75 algarismos decimais para determinar o valor de necessário para aproximar com precisão de usando as seguintes fórmulas.
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede para achar o menor grau do polinômio de Maclaurin de tal que, ao usar duas fórmulas para , o erro na aproximação seja menor que .
Conteúdo: série de Taylor (Maclaurin) de e critério de resto de série alternada.
O que vamos precisar:
A expressão do polinômio .
O termo de resto (erro) da série alternada:
As fórmulas de Machin:
a)
b) .
Passo 2
Teoria do resto da série alternada: se
arctan x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1,
o erro de truncar até Rn(x)=arctan x-Pn(x), |Rn(x)|<=x^2n+32n+3, é
porque os termos formam uma série alternada de módulo decrescente.
Para achar rapidamente, fazemos o seguinte chute via logaritmo na base 10 (ignorando o no denominador para estimar):
Testando em Maple com 75 dígitos confirma que ainda fica um tiquinho acima de , mas já entra.
Passo 5
Fórmula (b):
piaprx =16,Pn(1/5);-;4,Pn(1/239)
Erro total
Eb<=16,(1/5)^2n+32n+3 ;+;4,(1/239)^2n+32n+3
Aqui o termo (2n+3),log10!tfrac15approx -25 Longrightarrow 2n+3approx250,6990approx35,8 Longrightarrow napprox35,8-32approx16,4 é ridiculamente pequeno, o dominante é . Fazendo o mesmo chute:
Testes em Maple mostram que ainda não é suficiente, mas já garante .
Resposta
a) Para a fórmula precisamos de .
b) Para a fórmula basta .