Verifique que os vetores 1, x-1, x^2-2 x formam uma base do espaço vetorial dos polinômios de grau 2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que os três “vetores” (na verdade polinômios)
{ 1, x–1, x²–2x }
formam uma base do espaço vetorial P₂ (todos os polinômios de grau ≤2).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais, base, dimensão, independência linear e geração.
O que precisamos:
  1. lembrar que P₂ tem dimensão 3;
  2. checar independência linear dos 3 polinômios;
  3. concluir que, se forem independentes, formam base (pois já são 3 vetores num espaço de dimensão 3).

Passo 2

Definição rápida de independência linear:
Dizemos que p₁, p₂, p₃ são independentes se a única solução da combinação
acdot p₁(x) + bcdot p₂(x) + ccdot p₃(x) equiv 0
para todo x é a=b=c=0,
Aqui p₁(x)=1, p₂(x)=x–1, p₃(x)=x²–2x.

Passo 3

Escreve a combinação igual a zero:
acdot1 + b,(x-1) + c,(x^2-2x)=0forall x
Expande e organiza por potências de x:
c,x^2 + (b-2c),x + (a - b)=0,
Para esse polinômio ser o polinômio zero, cada coeficiente tem que ser zero:
  1. Coeficiente de x²: c=0
  2. Coeficiente de x: b-2c=0;Longrightarrow;b=0
  3. Termo constante: a-b=0;Longrightarrow;a=0
    Então só existe a solução trivial a=b=c=0. Logo, são independentes.

Passo 4

Sabendo que P₂ tem dimensão 3 e encontramos 3 polinômios independentes, automaticamente eles formam uma base (qualquer conjunto de 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3 gera todo o espaço).

Resposta

Os polinômios 1, x–1 e x²–2x são linearmente independentes em P₂ e são exatamente 3 num espaço de dimensão 3, logo formam uma base de P₂.

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