Verifique que os vetores
formam uma base do espaço vetorial dos polinômios de grau 2.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que os três “vetores” (na verdade polinômios)
{ 1, x–1, x²–2x }
formam uma base do espaço vetorial P₂ (todos os polinômios de grau ≤2).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais, base, dimensão, independência linear e geração.
O que precisamos:
{ 1, x–1, x²–2x }
formam uma base do espaço vetorial P₂ (todos os polinômios de grau ≤2).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais, base, dimensão, independência linear e geração.
O que precisamos:
- lembrar que P₂ tem dimensão 3;
- checar independência linear dos 3 polinômios;
- concluir que, se forem independentes, formam base (pois já são 3 vetores num espaço de dimensão 3).
Passo 2
Definição rápida de independência linear:
Dizemos que p₁, p₂, p₃ são independentes se a única solução da combinação
Dizemos que p₁, p₂, p₃ são independentes se a única solução da combinação
para todo x é
Aqui p₁(x)=1, p₂(x)=x–1, p₃(x)=x²–2x.
Aqui p₁(x)=1, p₂(x)=x–1, p₃(x)=x²–2x.
Passo 3
Escreve a combinação igual a zero:
Expande e organiza por potências de x:
Para esse polinômio ser o polinômio zero, cada coeficiente tem que ser zero:
- Coeficiente de x²:
- Coeficiente de x:
- Termo constante:
Então só existe a solução trivial a=b=c=0. Logo, são independentes.
Passo 4
Sabendo que P₂ tem dimensão 3 e encontramos 3 polinômios independentes, automaticamente eles formam uma base (qualquer conjunto de 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3 gera todo o espaço).
Resposta
Os polinômios 1, x–1 e x²–2x são linearmente independentes em P₂ e são exatamente 3 num espaço de dimensão 3, logo formam uma base de P₂.