Sejam f(x)=raizx-x^2 e P2(x) o polinômio interpolador por x0=0, x1 e x2=1. Encontre o maior valor de x1 em(0,1) para o qual f(0.5)-P2(0.5)=-0.25.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos a função
f(x)=raizx - x^2
e queremos o polinômio de grau 2, f(0.5) - P2(0.5) = -0.25 , que interpola nos pontos , (desconhecido) e . A condição é que
Ou seja, no ponto o erro de interpolação vale .
Conteúdo: interpolação de Lagrange e resolução de equação envolvendo radical. Vamos precisar:
  1. Fórmula de Lagrange para .
  2. Calcular e usar a condição para achar .
  3. Resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Primeiro, calcula f(0.5)=raiz0.5 - 0.5^2=raiz0.5 - 0.25=raiz0.25=0.5 :
0.5 - P2(0.5) = -0.25 Longrightarrow P2(0.5) = 0.5 + 0.25 = 0.75
A condição vira

Passo 3

Agora lembra do polinômio de Lagrange:
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),
com
Li(x)=prodjneq ix - xjxi - xj
Aqui P2(0.5)=f(x1),L1(0.5) , L1(x)=(x-0)(x-1)(x1-0)(x1-1) =x(x-1)x1(x1-1) e L1(0.5) =0.5,(0.5-1)x1(x1-1) =0.5cdot(-0.5)x1(x1-1) =-0.25x1(x1-1) . Como P2(0.5)=f(x1),-0.25x1(x1-1) stackrel!=0.75 e , só sobra o termo de :
E
Logo
Então

Passo 4

Escreve a equação claramente:
f(x1),-0.25x1(x1-1)=0.75
Multiplica ambos os lados por -0.25,f(x1)=0.75,x1(x1-1) :
f(x1)= -4cdot0.75,x1(x1-1) = -3,x1(x1-1)=3,x1(1-x1)
Multiplica por raizx1(1-x1) = 3,x1(1-x1) :
Mas . Então temos

Passo 5

Para 1 = 3raizx1(1-x1) Longrightarrow raizx1(1-x1)=13 , x1(1-x1)=19 Longrightarrow x1^2 - x1 + 19=0 . Dividindo por x1 = 1pmraiz1-4/92 = 1pmraiz5/92 = 1pmraiz532 :
x1 = 12-raiz56e x1 = 12+raiz56
Elevando ao quadrado:
Resolve a quadrática:
Dá duas raízes em :
A maior é

Resposta

boxedx1=12+raiz56approx0.87268

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