Mostre que para todo n in Z^+temos que 3^2 n+2+2^6 n+1 é um múltiplo de 11 .

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é mostrar que, para todo inteiro positivo 3^2n+2 ;+; 2^6n+1 , o número
sempre é múltiplo de 11. Isso é um problema de aritmética modular (congruências). Para resolver vamos usar a ideia de que, se dois números são iguais “mod 11”, as potências deles também são, e que podemos reduzir bases complicadas a restos mais simples em módulo 11.

Passo 2

Primeiro, lembramos que dizer “ 3^2n+2 + 2^6n+1 ;equiv; 0 pmod11 é múltiplo de 11” equivale a “ se a equiv b pmodm, então a^k equiv b^k pmodm ”. Então vamos mostrar
Para isso, vamos reescrever cada termo em módulo 11, usando a propriedade
ã

Passo 3

Olha o primeiro termo:
3^2n+2 ;=; 3^2;l(3^2r)^n ;=; 9 cdot 9^n
Agora, como estamos em módulo 11, calcule o resto de 9:
9 equiv -2 pmod11
Logo
9^n equiv (-2)^n pmod11,
e portanto
3^2n+2 ;equiv; 9cdot 9^n ;equiv; 9cdot(-2)^n pmod11

Passo 4

Agora o segundo termo:
2^6n+1 ;=; 2;l(2^6r)^n ;=; 2 cdot 64^n
Em módulo 11, 64 equiv 9 equiv -2 pmod11 , então
64^n equiv (-2)^n pmod11,
Isso dá
2^6n+1 ;equiv; 2cdot(-2)^n pmod11
e então

Passo 5

Basta somar as duas congruências:
3^2n+2 + 2^6n+1 ;equiv; 9cdot(-2)^n ;+; 2cdot(-2)^n ;=;(9+2),(-2)^n ;=;11cdot(-2)^n ;equiv;0 pmod11
Como deu zero em módulo 11, concluímos que a soma é múltiplo de 11 para todo .

Resposta

Portanto, para todo , é múltiplo de 11.

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