Mostre que para todo
temos que
é um múltiplo de 11 .
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é mostrar que, para todo inteiro positivo
, o número
sempre é múltiplo de 11. Isso é um problema de aritmética modular (congruências). Para resolver vamos usar a ideia de que, se dois números são iguais “mod 11”, as potências deles também são, e que podemos reduzir bases complicadas a restos mais simples em módulo 11.
Passo 2
Primeiro, lembramos que dizer “
é múltiplo de 11” equivale a “
”. Então vamos mostrar
Para isso, vamos reescrever cada termo em módulo 11, usando a propriedade
Passo 3
Olha o primeiro termo:
Agora, como estamos em módulo 11, calcule o resto de 9:
Logo
e portanto
Passo 4
Agora o segundo termo:
Em módulo 11,
, então
Isso dá
e então
Passo 5
Basta somar as duas congruências:
Como deu zero em módulo 11, concluímos que a soma é múltiplo de 11 para todo
.
Resposta
Portanto, para todo
,
é múltiplo de 11.