Prove que
para todo
natural.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente provar que, para todo inteiro
, vale
O conteúdo é prova por indução (e um pouquinho de “fatorial”, já que
). A ideia é:
- Fazer o caso base (normalmente
). - Assumir que a fórmula vale para um
. - Mostrar que, com isso, ela vale para
.
Passo 2
Vamos checar
:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Então, para
a igualdade bate direitinho. O caso base está garantido.
Passo 3
Suponha que, para algum
, dê certo a fórmula:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Queremos mostrar que, sob essa hipótese, vale também para
:
Pela hipótese, a soma até
é
. Então:
LHS para
=
Fatorando , fica
LHS para
=
Fatorando
E
é justamente
.
Portanto fechou certinho: o passo de indução está concluído.
Portanto fechou certinho: o passo de indução está concluído.
Resposta
Pela indução, a fórmula
vale para todo
.