Prove que
1 cdot 1+1 cdot 2 cdot 2+1 cdot 2 cdot 3 cdot 3+ldots+1 cdot 2 cdot ldots cdot(n-1) cdot n cdot n=1 cdot 2 cdot ldots cdot n cdot(n+1)-1
para todo n >= 2 natural.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente provar que, para todo inteiro 1cdot1 ;+;1cdot2cdot2;+;1cdot2cdot3cdot3;+;dots+;1cdot2cdotldotscdot(n-1)cdot ncdot n ;=;1cdot2cdotldotscdot ncdot(n+1);-;1 , vale
O conteúdo é prova por indução (e um pouquinho de “fatorial”, já que ). A ideia é:
  • Fazer o caso base (normalmente ).
  • Assumir que a fórmula vale para um .
  • Mostrar que, com isso, ela vale para .

Passo 2

Vamos checar 1cdot1 + 1cdot2cdot2 = 1 + (1cdot2cdot2) = 1 + 4 = 5 :
Lado esquerdo:
1cdot2,(2+1) - 1 = (1cdot2cdot3) - 1 = 6 - 1 = 5
Lado direito:
Então, para a igualdade bate direitinho. O caso base está garantido.

Passo 3

Suponha que, para algum 1cdot1 + 1cdot2cdot2 + dots + 1cdot2cdots kcdot k = 1cdot2cdots k,(k+1) - 1 , dê certo a fórmula:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Queremos mostrar que, sob essa hipótese, vale também para 1cdot1 + dots + 1cdot2cdots kcdot k + underbrace1cdot2cdots kcdot(k+1)cdot(k+1)novo termo ;=;1cdot2cdots(k+1),(k+2);-;1 :
= 1cdot2cdots k,(k+1),l[,1 + (k+1)r] ;-;1 = 1cdot2cdots k,(k+1),(k+2);-;1
Pela hipótese, a soma até é . Então:
LHS para
=
Fatorando , fica
E é justamente .
Portanto fechou certinho: o passo de indução está concluído.

Resposta

Pela indução, a fórmula
sumi=1^n l(1cdot2cdots icdot ir) ;=;1cdot2cdots n,(n+1);-;1
vale para todo .

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