Fixado
, define-se a soma
para todo
. Encontrar uma expressão para
e demonstrá-la usando o princípio de indução.
Passo 1
Beleza, resumo da parada: a gente tem
com
- Decompor
- Usar a soma telescópica para achar uma fórmula em termos de harmônicas
- Aplicar o princípio de indução para demonstrar que a expressão vale para todo
Passo 2
Primeiro, frações parciais: a gente quer
Multiplicando pelos denominadores, dá
Comparando coeficientes em
e constantes:
A + B = 0 e A,r = 1
Logo
A + B = 0 e A,r = 1
Logo
Então
Passo 3
Agora plugamos isso na soma:
$$T_r(n)=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+r)}
=\frac1r\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac1k-\frac1{k+r}\Bigr).$$
Isso é uma típica soma telescópica, pois muitos termos se cancelam.
Isso é uma típica soma telescópica, pois muitos termos se cancelam.
Passo 4
Vamos separar as somas:
Definindo o número harmônico
Logo
$$T_r(n)=\frac1r\bigl(H_n - (H_{n+r}-H_r)\bigr)
=\frac{H_n + H_r - H_{n+r}}r.$$
Passo 5
Agora, prova por indução em
.
Base ( ):
Base (
Do nosso candidato:
$$\frac{H_1+H_r-H_{1+r}}r
=\frac{1 + H_r - (H_r + \frac1{r+1})}r
=\frac{1-\frac1{r+1}}r
=\frac{r/(r+1)}r
=\frac{1-\frac1{r+1}}r
=\frac{r/(r+1)}r
=\frac1{r+1}.$$
Bate certinho.
Bate certinho.
Passo 6
Passo indutivo: assume que
vale. Então
Pela hipótese:
Mas a fração nova também é telescópica:
$$\frac1{(n+1)(n+1+r)}
=\frac1r\Bigl(\frac1{n+1}-\frac1{n+1+r}\Bigr).
T_r(n+1)
=\frac1r\Bigl(H_n+H_r-H_{n+r}+\frac1{n+1}-\frac1{n+1+r}\Bigr)
=\frac1r\bigl(H_{n+1}+H_r-H_{n+1+r}\bigr),$$
que é exatamente a fórmula para . Assim a indução fecha.
que é exatamente a fórmula para