Fixado r in N, define-se a soma
Tr(n)=11 cdot(1+r)+12 cdot(2+r)+cdots 1n cdot(n+r)
para todo n in N. Encontrar uma expressão para Tr(n) e demonstrá-la usando o princípio de indução.

Passo 1

Beleza, resumo da parada: a gente tem
Tr(n)=sumk=1^n1k,(k+r)
com r fixo em N. O conteúdo aqui envolve frações parciais, soma telescópica, números harmônicos e indução. Para resolver, vamos precisar:
- Decompor 1k(k+r) em frações parciais;
- Usar a soma telescópica para achar uma fórmula em termos de harmônicas Hn;
- Aplicar o princípio de indução para demonstrar que a expressão vale para todo n.

Passo 2

Primeiro, frações parciais: a gente quer
1k(k+r)=Ak+Bk+r
Multiplicando pelos denominadores, dá
1 = A,(k+r) + B,k = (A+B),k + A,r
Comparando coeficientes em k e constantes:
A + B = 0 e A,r = 1
Logo
A=1r, B=-1r
Então
1k(k+r)=1rl(1k-1k+rr)

Passo 3

Agora plugamos isso na soma:
$$T_r(n)=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+r)}
=\frac1r\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac1k-\frac1{k+r}\Bigr).$$
Isso é uma típica soma telescópica, pois muitos termos se cancelam.

Passo 4

Vamos separar as somas:
Tr(n)=1rl(sumk=1^n1k ;-;sumk=1^n1k+rr)
Definindo o número harmônico Hm=sumi=1^m1i, a segunda soma é
sumk=1^n1k+r=Hn+r-Hr
Logo
$$T_r(n)=\frac1r\bigl(H_n - (H_{n+r}-H_r)\bigr)
=\frac{H_n + H_r - H_{n+r}}r.$$

Passo 5

Agora, prova por indução em n.
Base ( n=1):
Tr(1)=11(1+r)=1r+1
Do nosso candidato:
$$\frac{H_1+H_r-H_{1+r}}r
=\frac{1 + H_r - (H_r + \frac1{r+1})}r
=\frac{1-\frac1{r+1}}r
=\frac{r/(r+1)}r
=\frac1{r+1}.$$
Bate certinho.

Passo 6

Passo indutivo: assume que
Tr(n)=Hn+Hr-Hn+rr
vale. Então
Tr(n+1)=Tr(n)+1(n+1)(n+1+r)
Pela hipótese:
Tr(n+1) =Hn+Hr-Hn+rr +1(n+1)(n+1+r)
Mas a fração nova também é telescópica:
$$\frac1{(n+1)(n+1+r)}
=\frac1r\Bigl(\frac1{n+1}-\frac1{n+1+r}\Bigr). 1(n+1)(n+1+r) =1rl(1n+1-1n+1+rr)T_r(n+1)
=\frac1r\Bigl(H_n+H_r-H_{n+r}+\frac1{n+1}-\frac1{n+1+r}\Bigr)
=\frac1r\bigl(H_{n+1}+H_r-H_{n+1+r}\bigr),$$
que é exatamente a fórmula para Tr(n+1) =1rl(Hn+Hr-Hn+r+1n+1-1n+1+rr) =1rl(Hn+1+Hr-Hn+1+rr),. Assim a indução fecha.

Resposta

boxedTr(n)=Hn+Hr-Hn+rr,onde Hm=sumi=1^m1i

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