Mostre que
nao tem limite.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a sequência
não tem limite.
Conteúdo da matéria: sequências numéricas e limite de sequência.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: sequências numéricas e limite de sequência.
O que vamos precisar:
- A propriedade de que
. - Definição de limite de sequência em
. - Noções de subsequência e como usar dois “ramos” de valores para provar que não há um único limite.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica: para todo inteiro
,
Isso vem da periodicidade do cosseno e do fato de que
,
, etc.
Logo
Logo
ou seja,
vale
quando
é par e vale
quando
é ímpar.
Passo 3
Agora olhe só: temos dois “grupos” de termos na sequência:
- Quando
(número par), . - Quando
(número ímpar), .
Esses dois conjuntos são subsequências de.
Cada uma delas tende a um valor constante:
Passo 4
Lembra da definição formal de limite de sequência? Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
.
Se a sequência tivesse um limite , então toda subsequência também teria de convergir para esse mesmo
. Mas aqui duas subsequências convergem para números diferentes (1 e
).
Isso gera uma contradição: não existe um único que satisfaça a definição formal. Portanto,
não pode convergir.
Se a sequência tivesse um limite
Isso gera uma contradição: não existe um único
Resposta
A sequência
não tem limite.