Mostre que xn=cos (pi n) nao tem limite.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a sequência
xn = cos(pi n)
não tem limite.
Conteúdo da matéria: sequências numéricas e limite de sequência.
O que vamos precisar:
  • A propriedade de que .
  • Definição de limite de sequência em .
  • Noções de subsequência e como usar dois “ramos” de valores para provar que não há um único limite.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica: para todo inteiro cos(pi n) = (-1)^n ,
xn = (-1)^n,
Isso vem da periodicidade do cosseno e do fato de que , , etc.
Logo
ou seja, vale quando é par e vale quando é ímpar.

Passo 3

Agora olhe só: temos dois “grupos” de termos na sequência:
  • Quando limktoinfty x2k = 1, limktoinfty x2k+1 = -1 (número par), .
  • Quando (número ímpar), .
    Esses dois conjuntos são subsequências de .
Cada uma delas tende a um valor constante:

Passo 4

Lembra da definição formal de limite de sequência? Dizemos que se, para todo , existe tal que, para todo , .
Se a sequência tivesse um limite , então toda subsequência também teria de convergir para esse mesmo . Mas aqui duas subsequências convergem para números diferentes (1 e ).
Isso gera uma contradição: não existe um único que satisfaça a definição formal. Portanto, não pode convergir.

Resposta

A sequência não tem limite.

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