Um móvel desloca-se em uma trajetória orientada de acordo com os seguintes dados:
t(em segundos ) s(em metros )
3 20
5 30
7 50
Usando interpolação polinomial, através do método de Lagrange, encontre uma estimativa para a posição do móvel para t=4 s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Interpolação Polinomial utilizando o Método de Lagrange. O enunciado nos dá a posição de um móvel em diferentes instantes de tempo e pede para estimar a posição desse móvel em um instante que não está listado nos dados. Para isso, precisamos entender como construir um polinômio que passe pelos pontos dados e, com ele, calcular a posição para o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
  • Quando t = 3,s, s = 20,m
  • Quando t = 5,s, s = 30,m
  • Quando t = 7,s, s = 50,m
Queremos encontrar s quando t = 4,s.

Passo 3

A interpolação polinomial de Lagrange nos permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral do polinômio de Lagrange para três pontos é:
P(t) = s0 cdot (t - t1)(t - t2)(t0 - t1)(t0 - t2) + s1 cdot (t - t0)(t - t2)(t1 - t0)(t1 - t2) + s2 cdot (t - t0)(t - t1)(t2 - t0)(t2 - t1)
Onde (t0, s0), (t1, s1) e (t2, s2) são os pontos dados.

Passo 4

Vamos atribuir os valores aos índices:
  • t0 = 3,s, s0 = 20,m
  • t1 = 5,s, s1 = 30,m
  • t2 = 7,s, s2 = 50,m
Queremos calcular para t = 4,s.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do polinômio de Lagrange:
P(4) = 20 cdot (4 - 5)(4 - 7)(3 - 5)(3 - 7) + 30 cdot (4 - 3)(4 - 7)(5 - 3)(5 - 7) + 50 cdot (4 - 3)(4 - 5)(7 - 3)(7 - 5)

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro termo:
20 cdot (4 - 5)(4 - 7)(3 - 5)(3 - 7) = 20 cdot (-1)(-3)(-2)(-4) = 20 cdot 38 = 7.5
Segundo termo:
30 cdot (4 - 3)(4 - 7)(5 - 3)(5 - 7) = 30 cdot (1)(-3)(2)(-2) = 30 cdot -3-4 = 22.5
Terceiro termo:
50 cdot (4 - 3)(4 - 5)(7 - 3)(7 - 5) = 50 cdot (1)(-1)(4)(2) = 50 cdot -18 = -6.25

Passo 7

Agora, somamos os três termos:
P(4) = 7.5 + 22.5 - 6.25 = 23.75

Resposta

A posição estimada do móvel para t = 4,s é 23,75 metros.

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