Considere o sistema linear a seguir.
5 x1-x2+x3 & =3 3 x1+4 x2+2 x3 & =5 -3 x1+3 x2+6 x3 & =-6
Verifique se esse sistema satisfaz o critério das linhas.

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas. O que a questão quer é saber se esse sistema satisfaz o “critério das linhas”, que na prática é o critério de Rouché-Capelli. Isso ajuda a determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, a gente vai precisar montar as matrizes do sistema e verificar seus determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada do sistema dado. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que multiplicam as incógnitas:
A = 5 & -1 & 1 3 & 4 & 2 -3 & 3 & 6
A matriz aumentada inclui também os resultados das equações:
A|b = 5 & -1 & 1 & | & 3 3 & 4 & 2 & | & 5 -3 & 3 & 6 & | & -6

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes $ A $. O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Vamos calcular:
A
Simplificando:
det(A) = 5(4 cdot 6 - 2 cdot 3) - (-1)(3 cdot 6 - 2 cdot (-3)) + 1(3 cdot 3 - 4 cdot (-3))
Como $ det(A) = 135 \neq 0 $, a matriz é invertível.

Passo 4

Segundo o critério de Rouché-Capelli, se o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Não precisamos verificar a matriz aumentada nesse caso porque já sabemos que o sistema é consistente e independente.

Resposta

O sistema satisfaz o critério das linhas e possui uma solução única.

Exercícios relacionados