A seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
c(x)=(d5+1) times 10-(2 d5+2) times 10 cdot(e^-(d3+1) / 10 x-e^-(d7+10) / 10 x)
Calcule, usando o método Regula Falsi, a distância para a qual o nível de oxigênio que diminui para o valor (d5+1) times 2. Considere como tolerância varepsilon <= 10^-3. Comente os resultados e analise a viabilidade das soluções encontradas!

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos para resolver.
Enunciado resumido: temos
c(x);=;(d5+1)times10 ;-;(2,d5+2)times10;l(e^-tfracd3+110,x;-;e^-tfracd7+1010,xr)
e queremos achar a distância c(x);=;(d5+1)times2 tal que
usando o método da Falsa Posição (Regula Falsi), com tolerância .
Conteúdo: método numérico de busca de raízes (Regula Falsi), função exponencial e análise de sinais.
O que precisamos:
  1. definir ;
  2. encontrar um intervalo onde e tenham sinais opostos;
  3. iterar pela fórmula da Falsa Posição até .

Passo 2

Definindo a função-alvo:
f(x);=;(d5+1),10;-; (2,d5+2),10l(e^-tfracd3+110x-e^-tfracd7+1010xr);-;(d5+1),2
Para usar Regula Falsi precisamos de um intervalo inicial f(xell)times f(xu);<;0 tal que
xnovo = xu,f(xell)-xell,f(xu)f(xell)-f(xu),
A ideia do método: em cada iteração calculamos
[
x_{novo}

\frac{x_u,f(x_\ell)-x_\ell,f(x_u)}{f(x_\ell)-f(x_u)},
]
que é o ponto de interseção da reta que liga e com o eixo . Depois avaliamos e substituímos o extremo cuja função tiver o mesmo sinal de .

Passo 3

Agora, vamos checar o sinal de e^-tfracd3+110,0=1, e^-tfracd7+1010,0=1 ;Rightarrow; f(0)=(d5+1),10-(2d5+2),10;(1-1)-(d5+1),2 =8,(d5+1)>0 em dois “extremos” típicos:
  • Em e^-tfracd3+110xto0, e^-tfracd7+1010xto0 ;Rightarrow; f(infty)=(d5+1),10-(d5+1),2=8,(d5+1)>0 :
  • Em :
Ou seja, tanto em quanto à medida que cresce muito, permanece positivo. Não há mudança de sinal em nenhum intervalo .
Isso significa que não existe tal que , ou seja, a curva nunca atinge o valor para os parâmetros dados.

Resposta

Não há solução real viável para pelo método da Falsa Posição (até ), porque não muda de sinal em nenhum intervalo e, portanto, não existe raiz.

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