Para
, prove a seguinte identidade:
.
[Sugestão: O lado esquerdo é igual a
]
[Sugestão: O lado esquerdo é igual a
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, para todo inteiro
, vale a identidade
Isso está dentro do conteúdo de coeficientes binomiais e Teorema Binomial. A gente vai usar:
- a relação
, - a expansão de
.
Passo 2
Primeiro, trocamos cada termo
usando
Daí
Substituindo na soma original:
Agora mudo o índice: ponho
. Quando
, e
. Fica
pois tiramos o termo
da soma.
Passo 3
Pelo Teorema Binomial,
O termo
sumj=1^n+1(-1)^,jbinomn+1j =0-1=-1 Longrightarrow sumj=1^n+1(-1)^,j-1binomn+1j=+1 é
1n+1times1 =1n+1 . Logo
Assim a nossa soma vira