Para n=1, prove a seguinte identidade:
binomn0-12binomn1+13binomn2-cdots+(-1)^nn+1binomnn=1n+1.
[Sugestão: O lado esquerdo é igual a
1n+1[binomn+11-binomn+12+binomn+13-cdots+(-1)^nbinomn+1n+1] 1
]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, para todo inteiro sumk=0^n (-1)^kbinomnkk+1 ;=;1n+1 , vale a identidade
Isso está dentro do conteúdo de coeficientes binomiais e Teorema Binomial. A gente vai usar:
  1. a relação ,
  2. a expansão de .

Passo 2

Primeiro, trocamos cada termo binomn+1k+1 =(n+1)!(k+1)!,(n-k)! =n+1k+1,n!k!,(n-k)! =(n+1),binomnkk+1 usando
binomnkk+1 =1,n+1,binomn+1k+1
Daí
sumk=0^n(-1)^kbinomnkk+1 =1n+1sumk=0^n(-1)^kbinomn+1k+1
Substituindo na soma original:
1n+1sumj=1^n+1(-1)^,j-1binomn+1j =1n+1l[underbracesumj=0^n+1(-1)^jbinomn+1j=,0 ;-;(-1)^0binomn+10r]
Agora mudo o índice: ponho . Quando , e . Fica
pois tiramos o termo da soma.

Passo 3

Pelo Teorema Binomial,
sumj=0^n+1binomn+1j(-1)^j=(1-1)^n+1=0
O termo sumj=1^n+1(-1)^,jbinomn+1j =0-1=-1 Longrightarrow sumj=1^n+1(-1)^,j-1binomn+1j=+1 é 1n+1times1 =1n+1 . Logo
Assim a nossa soma vira

Resposta

sumk=0^n(-1)^kbinomnkk+1 =1n+1

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