Prove o item a seguir para n >= 1:
binomnr>binomnr+1 se e somente se n-1 >= r>12(n-1).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro binomnr>binomnr+1 Long<=ftrightarrow n-1>= r>tfrac12(n-1) e inteiro ,
Conteúdo: combinações e manipulação de desigualdades. Vamos usar a fórmula

e, em especial, a razão entre termos consecutivos
.

Passo 2

Começando do “se e somente se”, foquemos em
1 > binomnr+1binomnr .
Como binomnr+1binomnr =n!(r+1)!,(n-r-1)!n!r!,(n-r)! =n-rr+1 , podemos dividir os dois lados por 1 > n-rr+1 sem mudar o sinal:
Agora usamos a identidade
Então a desigualdade vira

Passo 3

Transformando r+1 > n-r em algo mais claro:
  1. Multiplica ambos os lados por 2r+1 > n , já que r > n-12 :
r>n-12
  1. Somamos nos dois lados:
  1. Subtraímos 1 e dividimos por 2:
Isso mostra que, para garantir , precisamos de

Passo 4

Faltam só dois detalhes para fechar o “se e somente se”:
  • Precisamos que binomnr>binomnr+1 Long<=ftrightarrow r>tfracn-12 e r<= n-1 esteja bem definido e não seja zero. Para isso vale exigir , i.e. .
  • Se , a mesma conta ao contrário mostra .
Juntando tudo:

Resposta

n-1>= r>n-12 se, e somente se,

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