Prove o item a seguir para
:
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro
e inteiro
,
Conteúdo: combinações e manipulação de desigualdades. Vamos usar a fórmula
e, em especial, a razão entre termos consecutivos
.
e, em especial, a razão entre termos consecutivos
Passo 2
Começando do “se e somente se”, foquemos em
.
Como , podemos dividir os dois lados por
sem mudar o sinal:
Como
Agora usamos a identidade
Então a desigualdade vira
Passo 3
Transformando
em algo mais claro:
- Multiplica ambos os lados por
, já que :
- Somamos
nos dois lados:
- Subtraímos 1 e dividimos por 2:
Isso mostra que, para garantir
, precisamos de
Passo 4
Faltam só dois detalhes para fechar o “se e somente se”:
- Precisamos que
esteja bem definido e não seja zero. Para isso vale exigir , i.e. . - Se
, a mesma conta ao contrário mostra .
Juntando tudo: