Por que não se pode calcular integral0,1^2,1 x^x d x analiticamente?

Passo 1

O enunciado pergunta “Por que não se pode calcular analiticamente
integral0.1^2.1 x^x , dx,?
Isso cai no conteúdo de cálculo de primitivação (antiderivadas) e teoria dos tipos de funções elementares. Para responder, a gente vai precisar:
  1. Conhecer a definição de primitiva e função elementar.
  2. Ver como escrever em termos de funções mais familiares ( , , etc.).
  3. Entender, ao menos de forma conceitual, por que algumas funções não têm antiderivada elementar (sem entrar em provas formais, só a ideia).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever
x^x = e^lnl(x^xr) = e^xln x,
Isso é legal porque agora a função aparece dentro de um exponencial, um formato que a gente sabe manipular melhor.

Passo 3

Para tentar encontrar uma antiderivada de u = ln x e dv = x,e^xln x,dx, , a gente normalmente consideraria técnicas como substituição ou integração por partes. Vamos tentar, por exemplo, integração por partes:
Escolho
mas daí já tem o próprio multiplicado por , e quando você deriva vira . No fim das contas você não simplifica nada, e acaba voltando a integrar de novo. É um beco sem saída.

Passo 4

A gente pode também apelar para uma ideia mais geral: existe um teorema (o Teorema de Liouville, lá no campo de funções elementares) que diz, em essência, que nem toda função construída com soma, produto, exponencial, logaritmo e afins tem antiderivada “fechada” nesses mesmos termos. E é justamente um exemplo clássico de função cuja primitiva não pode ser expressa por um número finito de operações elementares.

Passo 5

Então, na prática, quando alguém pede , a resposta é “não existe expressão em função elementar”. O que sobra para a gente é recorrer a:
  • Funções especiais definidas por série ou integral (como a função “li” ou séries infinitas).
  • Métodos numéricos, para obter valores aproximados dentro dos limites dados.

Resposta

Não dá para calcular “analiticamente” porque não tem antiderivada expressável em termos de funções elementares (soma, produto, exponencial, logaritmo, etc.).

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