Para as quatro questões a seguir, considere os pontos de uma função f desconhecida
c|ccccccc x & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 hline f(x) & 1 & 0,577 & 0,447 & 0,378 & 0,333 & 0,302 & 0,277
Usando três casas decimais, aproxime integral1^13 f pela regra do 1 / 3 de Simpson composta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função desconhecida $ f(x) $ com alguns pontos dados em uma tabela, e precisamos calcular a integral $ \int_{1}^{13} f(x) , dx $ usando a regra composta do 1/3 de Simpson. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente das técnicas de integração numérica. Para resolver, vamos precisar entender como a regra de Simpson funciona e aplicá-la aos pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra do 1/3 de Simpson. Essa regra é uma maneira de aproximar integrais definidas usando polinômios de segundo grau (parábolas) que passam por conjuntos de três pontos consecutivos da função. A fórmula geral para a regra de Simpson composta é:
integrala^b f(x) , dx approx De
Onde:
  • $ \Delta x $ é a largura de cada intervalo.
  • $ n $ é o número de intervalos, que precisa ser par.
  • $ x_0, x_1, \dots, x_n $ são os pontos de avaliação da função.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Limites de integração: $ a = 1 $, $ b = 13 $
  • Número de pontos: 7 pontos, o que significa 6 intervalos ($ n = 6 $), que é par, então está de boa para a regra de Simpson.
  • Largura de cada intervalo ($ \Delta x $):
a = 1

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra composta do 1/3 de Simpson com os valores que temos. A tabela nos dá os valores de $ f(x) $ para cada $ x $:
f(x)
Substituindo na fórmula:
x

Passo 5

Vamos calcular cada parte da soma dentro dos colchetes:
f(1) &= 1 4f(3) &= 4 times 0,577 = 2,308 2f(5) &= 2 times 0,447 = 0,894 4f(7) &= 4 times 0,378 = 1,512 2f(9) &= 2 times 0,333 = 0,666 4f(11) &= 4 times 0,302 = 1,208 f(13) &= 0,277
Somando tudo:
1 + 2,308 + 0,894 + 1,512 + 0,666 + 1,208 + 0,277 = 7,865

Passo 6

Agora, multiplicamos essa soma pelo fator $ \frac{\Delta x}{3} = \frac{2}{3} $:
De

Resposta

A aproximação da integral $ \int_{1}^{13} f(x) , dx $ pela regra composta do 1/3 de Simpson é 5,243.

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