Para as quatro questões a seguir, considere os pontos de uma função
desconhecida
Usando três casas decimais, aproxime
pela regra do
de Simpson composta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função desconhecida $ f(x) $ com alguns pontos dados em uma tabela, e precisamos calcular a integral $ \int_{1}^{13} f(x) , dx $ usando a regra composta do 1/3 de Simpson. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente das técnicas de integração numérica. Para resolver, vamos precisar entender como a regra de Simpson funciona e aplicá-la aos pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra do 1/3 de Simpson. Essa regra é uma maneira de aproximar integrais definidas usando polinômios de segundo grau (parábolas) que passam por conjuntos de três pontos consecutivos da função. A fórmula geral para a regra de Simpson composta é:
Onde:
- $ \Delta x $ é a largura de cada intervalo.
- $ n $ é o número de intervalos, que precisa ser par.
- $ x_0, x_1, \dots, x_n $ são os pontos de avaliação da função.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Limites de integração: $ a = 1 $, $ b = 13 $
- Número de pontos: 7 pontos, o que significa 6 intervalos ($ n = 6 $), que é par, então está de boa para a regra de Simpson.
- Largura de cada intervalo ($ \Delta x $):
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da regra composta do 1/3 de Simpson com os valores que temos. A tabela nos dá os valores de $ f(x) $ para cada $ x $:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da soma dentro dos colchetes:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, multiplicamos essa soma pelo fator $ \frac{\Delta x}{3} = \frac{2}{3} $:
Resposta
A aproximação da integral $ \int_{1}^{13} f(x) , dx $ pela regra composta do 1/3 de Simpson é 5,243.