Para as quatro questões a seguir, considere os pontos de uma função f desconhecida
c|ccccccc x & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 hline f(x) & 1 & 0,577 & 0,447 & 0,378 & 0,333 & 0,302 & 0,277
Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples e compostas) e quais as quadraturas de Gauss-Legendre que permitem aproximar integral1^13 f ? Justifique. Qual das fórmulas aplicáveis aproxima provavelmente melhor integral1^13 f ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com pontos de uma função desconhecida $ f $ e queremos aproximar a integral f . Para isso, precisamos usar algumas técnicas de integração numérica chamadas Fórmulas de Newton-Cotes (tanto simples quanto compostas) e as Quadraturas de Gauss-Legendre. Além disso, precisamos justificar quais dessas fórmulas são aplicáveis e qual provavelmente dará a melhor aproximação para a integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas fórmulas e quais são as melhores para os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as Fórmulas de Newton-Cotes. Elas são métodos de integração numérica que usam pontos igualmente espaçados (como os que temos na tabela) para aproximar a integral de uma função. Existem duas versões principais:
  • Newton-Cotes Simples: Aplica-se a um único intervalo.
  • Newton-Cotes Compostas: Divide o intervalo de integração em vários subintervalos e aplica a fórmula simples em cada um deles, somando os resultados.
No nosso caso, temos 7 pontos igualmente espaçados entre 1 e 13, com passo $ h = 2 $. Isso sugere que podemos usar a fórmula de Newton-Cotes composta, já que temos múltiplos subintervalos onde podemos aplicar a aproximação.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as Quadraturas de Gauss-Legendre. Diferente das Fórmulas de Newton-Cotes, as quadraturas de Gauss-Legendre não usam pontos igualmente espaçados. Elas escolhem os pontos (chamados de nós) e os pesos de forma a maximizar a exatidão da aproximação para polinômios de maior grau. Isso geralmente resulta em melhor precisão usando menos pontos. No entanto, para aplicar a quadratura de Gauss-Legendre, precisamos dos nós específicos, que não são necessariamente os que temos na nossa tabela.

Passo 4

Vamos justificar quais fórmulas são aplicáveis para o nosso caso. Como temos pontos igualmente espaçados, as Fórmulas de Newton-Cotes, especialmente a versão composta, são diretamente aplicáveis. Podemos dividir o intervalo [1,13] em vários subintervalos e aplicar a fórmula em cada um.
Já as Quadraturas de Gauss-Legendre não são tão diretas de aplicar aqui, porque elas exigem nós específicos que não correspondem aos pontos que temos na tabela. Sem os nós corretos, não podemos aproveitar a precisão que as quadraturas de Gauss-Legendre oferecem.

Passo 5

Agora, qual das fórmulas aplicáveis provavelmente aproxima melhor a integral integral1^13 f(x) , dx? As Fórmulas de Newton-Cotes compostas são mais adequadas para nossos dados porque estamos lidando com múltiplos subintervalos com pontos igualmente espaçados. Elas permitem uma melhor adaptação da aproximação em todo o intervalo de integração, reduzindo o erro em comparação com a fórmula simples, que usaria apenas um único polinômio para todo o intervalo.
As Quadraturas de Gauss-Legendre, mesmo que fossem aplicáveis, poderiam oferecer uma melhor precisão, mas devido à incompatibilidade dos nós, não seriam a melhor escolha aqui.

Resposta

As Fórmulas de Newton-Cotes Compostas são as mais adequadas para aproximar integral1^13 f(x) , dx usando os pontos fornecidos. Elas aproveitam os múltiplos subintervalos com pontos igualmente espaçados, permitindo uma melhor precisão na aproximação do que as fórmulas simples. Além disso, as Quadraturas de Gauss-Legendre não são tão indicadas neste caso devido à incompatibilidade dos nós necessários com os pontos disponíveis na tabela.

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