Para as quatro questões a seguir, considere os pontos de uma função
desconhecida
Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples e compostas) e quais as quadraturas de Gauss-Legendre que permitem aproximar
? Justifique. Qual das fórmulas aplicáveis aproxima provavelmente melhor
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com pontos de uma função desconhecida $ f $ e queremos aproximar a integral
. Para isso, precisamos usar algumas técnicas de integração numérica chamadas Fórmulas de Newton-Cotes (tanto simples quanto compostas) e as Quadraturas de Gauss-Legendre. Além disso, precisamos justificar quais dessas fórmulas são aplicáveis e qual provavelmente dará a melhor aproximação para a integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas fórmulas e quais são as melhores para os dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as Fórmulas de Newton-Cotes. Elas são métodos de integração numérica que usam pontos igualmente espaçados (como os que temos na tabela) para aproximar a integral de uma função. Existem duas versões principais:
- Newton-Cotes Simples: Aplica-se a um único intervalo.
- Newton-Cotes Compostas: Divide o intervalo de integração em vários subintervalos e aplica a fórmula simples em cada um deles, somando os resultados.
No nosso caso, temos 7 pontos igualmente espaçados entre 1 e 13, com passo $ h = 2 $. Isso sugere que podemos usar a fórmula de Newton-Cotes composta, já que temos múltiplos subintervalos onde podemos aplicar a aproximação.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as Quadraturas de Gauss-Legendre. Diferente das Fórmulas de Newton-Cotes, as quadraturas de Gauss-Legendre não usam pontos igualmente espaçados. Elas escolhem os pontos (chamados de nós) e os pesos de forma a maximizar a exatidão da aproximação para polinômios de maior grau. Isso geralmente resulta em melhor precisão usando menos pontos. No entanto, para aplicar a quadratura de Gauss-Legendre, precisamos dos nós específicos, que não são necessariamente os que temos na nossa tabela.
Passo 4
Vamos justificar quais fórmulas são aplicáveis para o nosso caso. Como temos pontos igualmente espaçados, as Fórmulas de Newton-Cotes, especialmente a versão composta, são diretamente aplicáveis. Podemos dividir o intervalo
em vários subintervalos e aplicar a fórmula em cada um.
Já as Quadraturas de Gauss-Legendre não são tão diretas de aplicar aqui, porque elas exigem nós específicos que não correspondem aos pontos que temos na tabela. Sem os nós corretos, não podemos aproveitar a precisão que as quadraturas de Gauss-Legendre oferecem.
Passo 5
Agora, qual das fórmulas aplicáveis provavelmente aproxima melhor a integral
? As Fórmulas de Newton-Cotes compostas são mais adequadas para nossos dados porque estamos lidando com múltiplos subintervalos com pontos igualmente espaçados. Elas permitem uma melhor adaptação da aproximação em todo o intervalo de integração, reduzindo o erro em comparação com a fórmula simples, que usaria apenas um único polinômio para todo o intervalo.
As Quadraturas de Gauss-Legendre, mesmo que fossem aplicáveis, poderiam oferecer uma melhor precisão, mas devido à incompatibilidade dos nós, não seriam a melhor escolha aqui.
Resposta
As Fórmulas de Newton-Cotes Compostas são as mais adequadas para aproximar
usando os pontos fornecidos. Elas aproveitam os múltiplos subintervalos com pontos igualmente espaçados, permitindo uma melhor precisão na aproximação do que as fórmulas simples. Além disso, as Quadraturas de Gauss-Legendre não são tão indicadas neste caso devido à incompatibilidade dos nós necessários com os pontos disponíveis na tabela.