Use os métodos secante, regula falsi e pégaso para determinar pelo menos uma raiz de f(x)=2 x^3+5 x^2-sen(x)-30=0, xi in[1,4], com tolerância varepsilon <= 10^-4. Compare o número de iterações gasto por cada método.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma raiz de

no intervalo f(x)=2x^3+5x^2-sen(x)-30=0, usando três métodos numéricos: secante, regula falsi (falsa posição) e Pégaso. A tolerância pra diferença entre duas aproximações consecutivas é .
Conteúdo: métodos de iteração para achar raízes de funções quando não dá pra resolver analiticamente. Vamos precisar de:
1) avaliar ,
2) aplicar as fórmulas de atualização de cada método,
3) checar a condição .

Passo 2

A ideia do secante é aproximar a curva por uma reta que passa por xk+1 = xk - f(xk),xk - xk-1f(xk)-f(xk-1) e e usar a interseção com o eixo como próximo :
Começo com , . Depois vai gerando:
k=1:
k=2:
k=3:
k=4:
k=5:
k=6:
Em , .
Número de iterações: 7.

Passo 3

Aqui também usamos uma reta, mas mantemos o bracket c = b - f(b),b-af(b)-f(a) tal que . A cada passo:
Depois, decidimos qual subintervalo ou ainda muda de sinal e descartamos a outra ponta.
Partindo de , obtemos em cada iteração:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Em , .
Número de iterações: 6.

Passo 4

O Pégaso é uma variação da falsa posição que “ajusta” o valor de frm novo(a) = f(a),f(b)f(b)+f(c) na ponta que não se move, pra acelerar a convergência. A fórmula de é igual à da regula falsi, mas, depois de gerar , atualiza-se o valor de no extremo não alterado por um fator
Executando isso em cada passo, conseguimos aproximar a raiz mais depressa:
1:
2:
3:
4:
5:
Já em iterações obtemos .
Número de iterações: 5.

Resposta

A raiz aproximada é
xapprox1.87908
Iterações gastas:
  • Secante: 7
  • Regula falsi: 6
  • Pégaso: 5

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