Se
então
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa provar que, para qualquer número real
diferente de zero, o quadrado dele é sempre positivo, ou seja,
Conteúdo da matéria: propriedades dos números reais, em especial
- Tricotomia (todo real é positivo, zero ou negativo),
- Regras de sinais na multiplicação (positivo×positivo>0 e negativo×negativo>0).
O que vamos usar: definição de número positivo/negativo, produto de sinais iguais e a identidade.
Passo 2
Como a gente sabe pela tricotomia dos reais, qualquer número real
satisfaz exatamente uma dessas três condições:
-
, -
, -
.
No nosso caso, a hipótese é, então restam só as duas possibilidades:
Passo 3
Caso 1: suponha
.
Teoria aplicada: se dois números são positivos, o produto deles também é positivo.
Logo,
Teoria aplicada: se dois números são positivos, o produto deles também é positivo.
Logo,
Passo 4
Caso 2: suponha
.
- Primeiro, se
então (o oposto de um número negativo é positivo). - Pelo mesmo argumento de antes, produto de dois positivos é positivo, então
- Agora usamos a associatividade e a propriedade
:
Portanto, nesse caso também
.
Resposta
Em qualquer situação (se
ou
), a gente chega em
. Portanto, está provado que