Se a neq 0 então a^2>0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa provar que, para qualquer número real Se aneq 0 então a^2>0 diferente de zero, o quadrado dele é sempre positivo, ou seja,
ã
Conteúdo da matéria: propriedades dos números reais, em especial
  • Tricotomia (todo real é positivo, zero ou negativo),
  • Regras de sinais na multiplicação (positivo×positivo>0 e negativo×negativo>0).
    O que vamos usar: definição de número positivo/negativo, produto de sinais iguais e a identidade .

Passo 2

Como a gente sabe pela tricotomia dos reais, qualquer número real a>0 ou a<0 satisfaz exatamente uma dessas três condições:
  1. ,
  2. ,
  3. .
    No nosso caso, a hipótese é , então restam só as duas possibilidades:

Passo 3

Caso 1: suponha a>0 Longrightarrow acdot a>0 Longrightarrow a^2>0 .
Teoria aplicada: se dois números são positivos, o produto deles também é positivo.
Logo,

Passo 4

Caso 2: suponha (-a)cdot(-a)>0 .
  1. Primeiro, se (-a)cdot(-a) =l((-1)cdot ar)l((-1)cdot ar) =l((-1)cdot(-1)r)cdot(acdot a) =1cdot a^2 =a^2 então (o oposto de um número negativo é positivo).
  2. Pelo mesmo argumento de antes, produto de dois positivos é positivo, então
  1. Agora usamos a associatividade e a propriedade :
Portanto, nesse caso também .

Resposta

Em qualquer situação (se boxedSe aneq 0 então a^2>0 ou ), a gente chega em . Portanto, está provado que
ã

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