Mostre que
é um número irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o número
é irracional, ou seja, que não pode ser escrito como uma fração
com
e
.
Conteúdo: teoria de números racionais vs. irracionais, prova por absurdo e, como ferramenta, a já clássica demonstração de que é irracional.
Conteúdo: teoria de números racionais vs. irracionais, prova por absurdo e, como ferramenta, a já clássica demonstração de que
Passo 2
Definições e estratégia geral:
- Um número real
é racional se existe fração (com , ) tal que . Caso contrário, é irracional. - Prova por absurdo (contradição): a gente assume o contrário do que queremos provar e mostra que isso leva a uma contradição com algo já conhecido.
- Aqui precisamos do fato de que
é irracional. Então, primeiro, vamos provar que não é racional.
Passo 3
Prova de que
é irracional (clássica):
Suponha, para gerar absurdo, que com
inteiros sem fator comum além de
(ou seja, a fração está irredutível).
Então
Suponha, para gerar absurdo, que
Então
Isso diz que
é par (pois é
vezes algo), logo
também é par. Então podemos escrever
para algum inteiro
.
Substituindo de volta:
Substituindo de volta:
Isso mostra que
é par, logo
é par.
Conclusão: chegamos ao fato de que e
são ambos pares, ou seja, têm um fator comum
. Mas havíamos dito que
estava em forma irredutível! Aí está a contradição.
Logo, nossa suposição estava errada e é de fato irracional.
Conclusão: chegamos ao fato de que
Logo, nossa suposição estava errada e
Passo 4
Agora mostramos que
é irracional.
Suponha, de novo por absurdo, que
Suponha, de novo por absurdo, que
é racional. Então existe
tal que
Isolando
, temos
e como
são inteiros, isso diz que
seria racional — mas acabamos de provar que
não é racional! Contradição.
Resposta
Portanto,
é irracional.