Mostre que 1+raiz2 é um número irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o número
1 + raiz2
é irracional, ou seja, que não pode ser escrito como uma fração tfrac pq com p,qinZ e qneq0.
Conteúdo: teoria de números racionais vs. irracionais, prova por absurdo e, como ferramenta, a já clássica demonstração de que raiz2 é irracional.

Passo 2

Definições e estratégia geral:
  1. Um número real x é racional se existe fração pq (com p,qin Z, qneq0) tal que x= pq. Caso contrário, x é irracional.
  2. Prova por absurdo (contradição): a gente assume o contrário do que queremos provar e mostra que isso leva a uma contradição com algo já conhecido.
  3. Aqui precisamos do fato de que raiz2 é irracional. Então, primeiro, vamos provar que raiz2 não é racional.

Passo 3

Prova de que raiz2 é irracional (clássica):
Suponha, para gerar absurdo, que raiz2= pq com p,q inteiros sem fator comum além de 1 (ou seja, a fração está irredutível).
Então
raiz2 = pq Longrightarrow 2 = p^2q^2 Longrightarrow p^2 = 2,q^2
Isso diz que p^2 é par (pois é 2 vezes algo), logo p também é par. Então podemos escrever p=2k para algum inteiro k.
Substituindo de volta:
(2k)^2 = 2,q^2 Longrightarrow 4k^2 = 2,q^2 Longrightarrow 2k^2 = q^2
Isso mostra que q^2 é par, logo q é par.
Conclusão: chegamos ao fato de que p e q são ambos pares, ou seja, têm um fator comum 2. Mas havíamos dito que pq estava em forma irredutível! Aí está a contradição.
Logo, nossa suposição estava errada e raiz2 é de fato irracional.

Passo 4

Agora mostramos que 1+raiz2 é irracional.
Suponha, de novo por absurdo, que
1 + raiz2
é racional. Então existe pq tal que
1 + raiz2 = pq
Isolando raiz2, temos
raiz2 = pq ;-; 1 = p-qq,
e como p,q são inteiros, isso diz que raiz2 seria racional — mas acabamos de provar que raiz2 não é racional! Contradição.

Resposta

Portanto, 1 + raiz2 é irracional.

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