Nome(a): Ryan Victor Aches Jima
Data: 03 de Dezembro de 2024
Prof: Dr. Diego Frankin de Souza Veras SantAna
2) (1,0 pts) Sobre o método de Diferenças Finitas para para o cálculo de derivadas numericamentc, identifique como verdadciras (V) ou falsas (F) as afirmativas abaixo:
( ) O cáculo de una derivada utilizando diferenças finitas centradas é mais preciso do que utilizando diferenças finitas progressivas e regressivas;
( ) O método de diferenças finitas só é bem sucedido quando se deseja calcular derivadas de funções elementares. Para funções muito complexas, não é garantida eficiência no cálculo numérico, devido a instabilidades numéricas.
( ) Quanto maior for o tamanho de passo, mais precisa é a aproximação do cálculo;
( ) Difcrenças finitas permitem também calcular derivadas quando sc tem valores discretos de um fenomeno, medida ou observação, sem a necessidade de uma expressão para uma função matemática;
( ) As fórmulas de diferenças finitas para se aproximar a derivada de uma função f(x) em um ponto x0 fornecem a inclinação de uma reta secante à função f.

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre o método de diferenças finitas para aproximar derivadas numericamente. O que precisamos: conhecer as fórmulas de diferenças progressiva (forward), regressiva (backward) e centrada (central), entender a ordem de erro de cada uma, saber o efeito do tamanho do passo e ver que dá pra trabalhar com dados discretos sem saber a função fechada. A ideia é marcar cada afirmativa como verdadeira (V) ou falsa (F) explicando tudinho.

Passo 2

A primeira afirmativa diz: “A derivada via diferenças finitas centradas é mais precisa que pela progressiva ou regressiva.”
Teoria rápida:
  • Diferença progressiva:
f'(x)approx f(x+h)-f(x)h,erro = O(h)
  • Diferença regressiva:
f'(x)approx f(x)-f(x-h)h,erro = O(h)
  • Diferença centrada:
f'(x)approx f(x+h)-f(x-h)2h,erro = O(h^2)
Como decai mais rápido que quando , a centrada é mais precisa.
Logo, essa é V.

Passo 3

A segunda afirma: “O método só funciona bem em funções elementares; em funções complexas dá instabilidade.”
Na real, diferenças finitas funcionam para qualquer conjunto de pontos (mesmo sem ter fórmula “bonitinha”), e a instabilidade/erro depende mais de ruído nos dados e do modo de implementar, não do “grau de complexidade” da função.
Portanto isso é F.

Passo 4

A terceira afirma: “Quanto maior for o passo , mais precisa a aproximação.”
Lembra que o erro de truncamento é proporcional a potências de (por exemplo ou ). Se aumenta, esses termos crescem e a aproximação piora.
Conclusão: essa é F.

Passo 5

A quarta afirma: “Diferenças finitas também permitem derivar quando só temos valores discretos, sem precisar de expressão da função.”
Exatamente: basta ter em pontos espaçados e aplicar . Não precisa de fórmula analítica.
Então isso é V.

Passo 6

A quinta afirma: “As fórmulas de diferenças finitas dão a inclinação de uma reta secante à função.”
Sim, é justamente o coeficiente angular da reta que passa por e . Mesma ideia pras outras.
Portanto é V.

Resposta

(V), (F), (F), (V), (V)

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