Nome(a): Ryan Victor Aches Jima
Data: 03 de Dezembro de 2024
Prof: Dr. Diego Frankin de Souza Veras SantAna
  1. (1.0 pt. Sobre os métodos de integração numérica, identifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmativas abaixu:
    ( ) Na regra dos trapézios, aproxima-se a função f(x) a ser integrada por um polinômio interpolador de gran um a cada dois pontos, enquanto que na regra de Simpson 1/3, por um polinomio de grau dois a cada trés pontos.
    ( ) Na regra de Simpson 1 / 3, o domínio de integração deve, necessariamente, conter un número par de subdivisões, consequentemente, um número ímpar de pontos.
    ( ) As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.
    ( ) Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então cla nâo poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.
    ( ) Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cinco afirmações sobre métodos de integração numérica: regra dos trapézios e regra de Simpson 1/3. O conteúdo é integração numérica, interpolação polinomial e ordem de erro. Vamos precisar saber como cada método aproxima a função, quantas subdivisões são necessárias e a ordem de precisão de cada um.

Passo 2

Afirmação 1:
“Na regra dos trapézios, aproxima-se a função a ser integrada por um polinômio interpolador de grau um a cada dois pontos, enquanto que na regra de Simpson 1/3, por um polinômio de grau dois a cada três pontos.”
– Regra do trapézio: pega dois pontos e e faz a reta que passa por eles (polinômio de grau 1).
– Simpson 1/3: pega três pontos seguidos e encaixa um polinômio de grau 2.
Isso bate certinho, então é verdadeiro.

Passo 3

Afirmação 2:
“Na regra de Simpson 1/3, o domínio de integração deve, necessariamente, conter um número par de subdivisões, consequentemente, um número ímpar de pontos.”
– Simpson 1/3 agrupa a faixa em blocos de 2 subintervalos (cada bloco usa 3 pontos).
– Logo, o total de subintervalos tem que ser par, para formar esses pares de subintervalos.
– E o número de pontos é , que fica ímpar.
Também é verdadeiro.

Passo 4

Afirmação 3:
“As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.”
– Erro do trapézio , depende da segunda derivada de .
– Erro de Simpson , depende da quarta derivada de .
Como tende a zero mais rápido que , Simpson costuma ser mais preciso (se for suave).
Então é verdadeiro.

Passo 5

Afirmação 4:
“Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então ela não poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.”
– Na real é o contrário: usamos regra do trapézio e Simpson quando não dá pra achar antiderivada fechada.
– Métodos numéricos servem justamente pra aproximar integrais “sem solução exata”.
Isso é completamente falso.

Passo 6

Afirmação 5:
“Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.”
– Integrais indefinidas tratam de achar antiderivada . Não faz sentido usar “numérico” pra gerar uma família de funções.
– Métodos de integração numérica visam sempre calcular valores de integrais definidas .
Logo, essa afirmação também é falsa.

Resposta

V, V, V, F, F

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