Nome(a): Ryan Victor Aches Jima
Data: 03 de Dezembro de 2024
Prof: Dr. Diego Frankin de Souza Veras SantAna
- (1.0 pt. Sobre os métodos de integração numérica, identifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmativas abaixu:
( ) Na regra dos trapézios, aproxima-se a função
a ser integrada por um polinômio interpolador de gran um a cada dois pontos, enquanto que na regra de Simpson 1/3, por um polinomio de grau dois a cada trés pontos.
( ) Na regra de Simpson
, o domínio de integração deve, necessariamente, conter un número par de subdivisões, consequentemente, um número ímpar de pontos.
( ) As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.
( ) Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então cla nâo poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.
( ) Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.
Data: 03 de Dezembro de 2024
Prof: Dr. Diego Frankin de Souza Veras SantAna
( ) Na regra dos trapézios, aproxima-se a função
( ) Na regra de Simpson
( ) As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.
( ) Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então cla nâo poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.
( ) Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cinco afirmações sobre métodos de integração numérica: regra dos trapézios e regra de Simpson 1/3. O conteúdo é integração numérica, interpolação polinomial e ordem de erro. Vamos precisar saber como cada método aproxima a função, quantas subdivisões são necessárias e a ordem de precisão de cada um.
Passo 2
Afirmação 1:
“Na regra dos trapézios, aproxima-se a função a ser integrada por um polinômio interpolador de grau um a cada dois pontos, enquanto que na regra de Simpson 1/3, por um polinômio de grau dois a cada três pontos.”
– Regra do trapézio: pega dois pontos e
e faz a reta que passa por eles (polinômio de grau 1).
– Simpson 1/3: pega três pontos seguidos e encaixa um polinômio de grau 2.
Isso bate certinho, então é verdadeiro.
“Na regra dos trapézios, aproxima-se a função
– Regra do trapézio: pega dois pontos
– Simpson 1/3: pega três pontos seguidos e encaixa um polinômio de grau 2.
Isso bate certinho, então é verdadeiro.
Passo 3
Afirmação 2:
“Na regra de Simpson 1/3, o domínio de integração deve, necessariamente, conter um número par de subdivisões, consequentemente, um número ímpar de pontos.”
– Simpson 1/3 agrupa a faixa em blocos de 2 subintervalos (cada bloco usa 3 pontos).
– Logo, o total de subintervalos tem que ser par, para formar esses pares de subintervalos.
– E o número de pontos é , que fica ímpar.
Também é verdadeiro.
“Na regra de Simpson 1/3, o domínio de integração deve, necessariamente, conter um número par de subdivisões, consequentemente, um número ímpar de pontos.”
– Simpson 1/3 agrupa a faixa em blocos de 2 subintervalos (cada bloco usa 3 pontos).
– Logo, o total de subintervalos
– E o número de pontos é
Também é verdadeiro.
Passo 4
Afirmação 3:
“As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.”
– Erro do trapézio , depende da segunda derivada de
.
– Erro de Simpson , depende da quarta derivada de
.
Como tende a zero mais rápido que
, Simpson costuma ser mais preciso (se
for suave).
Então é verdadeiro.
“As regras de Simpson são, por construção, mais precisas do que a regra dos trapézios.”
– Erro do trapézio
– Erro de Simpson
Como
Então é verdadeiro.
Passo 5
Afirmação 4:
“Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então ela não poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.”
– Na real é o contrário: usamos regra do trapézio e Simpson quando não dá pra achar antiderivada fechada.
– Métodos numéricos servem justamente pra aproximar integrais “sem solução exata”.
Isso é completamente falso.
“Se uma integral não possuir solução exata (analítica), então ela não poderá ser resolvida numericamente pelas regras do Trapézio e de Simpson.”
– Na real é o contrário: usamos regra do trapézio e Simpson quando não dá pra achar antiderivada fechada.
– Métodos numéricos servem justamente pra aproximar integrais “sem solução exata”.
Isso é completamente falso.
Passo 6
Afirmação 5:
“Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.”
– Integrais indefinidas tratam de achar antiderivada . Não faz sentido usar “numérico” pra gerar uma família de funções.
– Métodos de integração numérica visam sempre calcular valores de integrais definidas .
Logo, essa afirmação também é falsa.
“Métodos de integração numérica são estabelecidos tanto para integrais definidas quanto para integrais indefinidas.”
– Integrais indefinidas tratam de achar antiderivada
– Métodos de integração numérica visam sempre calcular valores de integrais definidas
Logo, essa afirmação também é falsa.
Resposta
V, V, V, F, F