Dado o número 123.321 na base 4, represente-o na base 3 .

Passo 1

O enunciado dá o número em base 4 \,123.321_4 e pede que ele seja representado na base 3.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número a converter é \,123.321_4.
  • Quero a representação equivalente em base 3 (ou seja, um número \_3 que valha o mesmo).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa escrever um número em base 4: cada dígito tem peso conforme potências de 4. Para converter para outra base é conveniente transformar o número em uma forma racional (ou decimal) — separando parte inteira e parte fracionária — e então converter cada parte para base 3. Vou fazer isso passo a passo, mostrando como obter a fração exata e depois como gerar os dígitos base 3 da parte fracionária usando o método das multiplicações por 3.

Passo 3

Converter a parte inteira \,123_4 para valor em base 10 (posicional):
123_4 = 1\cdot 4^2 + 2\cdot 4^1 + 3\cdot 4^0.
Calculemos cada termo:
1\cdot 4^2 = 1\cdot 16 = 16, \qquad 2\cdot 4^1 = 2\cdot 4 = 8, \qquad 3\cdot 4^0 = 3\cdot 1 = 3.
Somando:
123_4 = 16+8+3 = 27.
Portanto a parte inteira vale \,27.

Passo 4

Converter a parte fracionária \,.321_4 para uma fração em base 10 (posicional):
.321_4 = 3\cdot 4^{-1} + 2\cdot 4^{-2} + 1\cdot 4^{-3}.
Calcule cada termo:
3\cdot 4^{-1} = \frac{3}{4},\qquad 2\cdot 4^{-2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8},\qquad 1\cdot 4^{-3} = \frac{1}{64}.
Somando como frações com denominador comum 64:
.321_4 = \frac{3\cdot 16 + 2\cdot 4 + 1}{64} = \frac{48+8+1}{64} = \frac{57}{64}.

Passo 5

Juntando parte inteira e fracionária obtemos o número como fração racional:
123.321_4 = 27 + \frac{57}{64} = \frac{27\cdot 64 + 57}{64} = \frac{1728+57}{64} = \frac{1785}{64}.
Opcionalmente em decimal isso é \,27{,}890625, mas manteremos a forma racional \frac{1785}{64} porque facilita conversão exata para base 3.

Passo 6

Converter a parte inteira \,27 para base 3. Note que 3^3=27, logo
27 = 1\cdot 3^3 + 0\cdot 3^2 + 0\cdot 3^1 + 0\cdot 3^0,
então a representação em base 3 da parte inteira é \,1000_3.

Passo 7

Converter a parte fracionária \frac{57}{64} para base 3 usando o método das multiplicações sucessivas por 3. A regra: a cada passo multiplica-se a fração por 3; a parte inteira do produto é o próximo dígito base 3; a parte fracionária resultante segue para o próximo passo. Vou listar cada multiplicação e resto (tudo em forma de fração para exatidão):
Começando com f_0=\dfrac{57}{64}:
  1. \dfrac{57}{64}\cdot 3 = \dfrac{171}{64} = 2 + \dfrac{43}{64}. Então d_1=2, resto f_1=\dfrac{43}{64}.
  2. \dfrac{43}{64}\cdot 3 = \dfrac{129}{64} = 2 + \dfrac{1}{64}. Então d_2=2, resto f_2=\dfrac{1}{64}.
  3. \dfrac{1}{64}\cdot 3 = \dfrac{3}{64} = 0 + \dfrac{3}{64}. Então d_3=0, resto f_3=\dfrac{3}{64}.
  4. \dfrac{3}{64}\cdot 3 = \dfrac{9}{64} = 0 + \dfrac{9}{64}. Então d_4=0, resto f_4=\dfrac{9}{64}.
  5. \dfrac{9}{64}\cdot 3 = \dfrac{27}{64} = 0 + \dfrac{27}{64}. Então d_5=0, resto f_5=\dfrac{27}{64}.
  6. \dfrac{27}{64}\cdot 3 = \dfrac{81}{64} = 1 + \dfrac{17}{64}. Então d_6=1, resto f_6=\dfrac{17}{64}.
  7. \dfrac{17}{64}\cdot 3 = \dfrac{51}{64} = 0 + \dfrac{51}{64}. Então d_7=0, resto f_7=\dfrac{51}{64}.
  8. \dfrac{51}{64}\cdot 3 = \dfrac{153}{64} = 2 + \dfrac{25}{64}. Então d_8=2, resto f_8=\dfrac{25}{64}.
  9. \dfrac{25}{64}\cdot 3 = \dfrac{75}{64} = 1 + \dfrac{11}{64}. Então d_9=1, resto f_9=\dfrac{11}{64}.
  10. \dfrac{11}{64}\cdot 3 = \dfrac{33}{64} = 0 + \dfrac{33}{64}. Então d_{10}=0, resto f_{10}=\dfrac{33}{64}.
  11. \dfrac{33}{64}\cdot 3 = \dfrac{99}{64} = 1 + \dfrac{35}{64}. Então d_{11}=1, resto f_{11}=\dfrac{35}{64}.
  12. \dfrac{35}{64}\cdot 3 = \dfrac{105}{64} = 1 + \dfrac{41}{64}. Então d_{12}=1, resto f_{12}=\dfrac{41}{64}.
  13. \dfrac{41}{64}\cdot 3 = \dfrac{123}{64} = 1 + \dfrac{59}{64}. Então d_{13}=1, resto f_{13}=\dfrac{59}{64}.
  14. \dfrac{59}{64}\cdot 3 = \dfrac{177}{64} = 2 + \dfrac{49}{64}. Então d_{14}=2, resto f_{14}=\dfrac{49}{64}.
  15. \dfrac{49}{64}\cdot 3 = \dfrac{147}{64} = 2 + \dfrac{19}{64}. Então d_{15}=2, resto f_{15}=\dfrac{19}{64}.
  16. \dfrac{19}{64}\cdot 3 = \dfrac{57}{64} = 0 + \dfrac{57}{64}. Então d_{16}=0, resto f_{16}=\dfrac{57}{64}.
Observação importante: após a multiplicação 16 voltamos a ter resto f_{16}=\dfrac{57}{64}, que é exatamente o resto inicial f_0. Isso significa que a sequência de restos vai repetir a partir daqui e, portanto, os dígitos fracionários em base 3 se repetem ciclicamente com período 16.

Passo 8

Listando os dígitos obtidos na ordem:
d_1,d_2,\dots,d_{16} = 2,2,0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,1,2,2,0.
Portanto a parte fracionária em base 3 é uma repetição periódica desses 16 dígitos:
.321_4 = .\overline{2200010210111220}_3.

Passo 9

Juntando a parte inteira (Passo 6) e a parte fracionária periódica (Passo 8), a representação completa em base 3 é
123.321_4 = 1000.\overline{2200010210111220}_3.

Resposta

1000.\overline{2200010210111220}_3

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