Dado o número 123.321 na base 4, represente-o na base 3 .
Passo 1
O enunciado dá o número em base 4
e pede que ele seja representado na base 3.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O número a converter é
. - Quero a representação equivalente em base 3 (ou seja, um número
que valha o mesmo).
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa escrever um número em base 4: cada dígito tem peso conforme potências de
. Para converter para outra base é conveniente transformar o número em uma forma racional (ou decimal) — separando parte inteira e parte fracionária — e então converter cada parte para base 3. Vou fazer isso passo a passo, mostrando como obter a fração exata e depois como gerar os dígitos base 3 da parte fracionária usando o método das multiplicações por 3.
Passo 3
Converter a parte inteira
para valor em base 10 (posicional):
Calculemos cada termo:
Somando:
Portanto a parte inteira vale
.
Passo 4
Converter a parte fracionária
para uma fração em base 10 (posicional):
Calcule cada termo:
Somando como frações com denominador comum
:
Passo 5
Juntando parte inteira e fracionária obtemos o número como fração racional:
Opcionalmente em decimal isso é
, mas manteremos a forma racional
porque facilita conversão exata para base 3.
Passo 6
Converter a parte inteira
para base 3. Note que
, logo
então a representação em base 3 da parte inteira é
.
Passo 7
Converter a parte fracionária
para base 3 usando o método das multiplicações sucessivas por
. A regra: a cada passo multiplica-se a fração por
; a parte inteira do produto é o próximo dígito base 3; a parte fracionária resultante segue para o próximo passo. Vou listar cada multiplicação e resto (tudo em forma de fração para exatidão):
Começando com
:
-
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto . -
. Então , resto .
Observação importante: após a multiplicação 16 voltamos a ter resto
, que é exatamente o resto inicial
. Isso significa que a sequência de restos vai repetir a partir daqui e, portanto, os dígitos fracionários em base 3 se repetem ciclicamente com período
.
Passo 8
Listando os dígitos obtidos na ordem:
Portanto a parte fracionária em base 3 é uma repetição periódica desses 16 dígitos:
Passo 9
Juntando a parte inteira (Passo 6) e a parte fracionária periódica (Passo 8), a representação completa em base 3 é