(IME 87) Seja P(x) um polinômio de grau 16 e coeficientes inteiros. Sabendo que P(x) assume valore impares para x=0 e x=1, mostre que P(x) não possui raízes inteiras.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(x) é um polinômio de grau 16 com coeficientes inteiros.
  • P(0) é ímpar.
  • P(1) é ímpar.
O que se pede: mostrar que P(x) não tem raízes inteiras, isto é, não existe r\in\mathbb{Z} tal que P(r)=0.

Passo 2

Escrevamos o polinômio em forma de coeficientes:
P(x)=a_{16}x^{16}+a_{15}x^{15}+\cdots+a_1x+a_0,
onde todos os a_k são inteiros. Observações imediatas extraídas do enunciado:
  • P(0)=a_0 é ímpar, portanto a_0 é ímpar.
  • P(1)=\sum_{k=0}^{16} a_k é ímpar, portanto a soma dos coeficientes é ímpar.
Antes de seguir, pequeno lembrete didático sobre paridade e congruência módulo 2:
  • Um inteiro é par quando é congruente a 0 módulo 2 e ímpar quando é congruente a 1 módulo 2.
  • Para qualquer inteiro m e expoente k\ge0, a classe de m^k módulo 2 depende apenas da classe de m módulo 2: se m\equiv0\pmod{2} então m^k\equiv0\pmod{2} para k\ge1; se m\equiv1\pmod{2} então m^k\equiv1\pmod{2} para todo k\ge0.
Vamos usar essa ideia: avaliar P(r) módulo 2 para um inteiro r.

Passo 3

Caso r seja um inteiro par. Então r\equiv0\pmod{2}. Para todo k\ge1 tem-se r^k\equiv0\pmod{2}. Logo, ao avaliar P em r e olhar apenas módulo 2,
P(r)\equiv a_0 \pmod{2}.
Mas já sabemos que a_0=P(0) é ímpar, logo a_0\equiv1\pmod{2}. Assim P(r)\equiv1\pmod{2}, que não pode ser congruente a 0\pmod{2}. Portanto P(r)\neq0. Conclusão: r par não pode ser raiz inteira de P.

Passo 4

Caso r seja um inteiro ímpar. Então r\equiv1\pmod{2}. Para todo k\ge0 tem-se r^k\equiv1\pmod{2}. Assim, avaliando P(r) módulo 2,
P(r)\equiv \sum_{k=0}^{16} a_k \pmod{2}.
Mas \sum_{k=0}^{16} a_k = P(1) é ímpar pelo enunciado, logo \sum_{k=0}^{16} a_k\equiv1\pmod{2}. Portanto P(r)\equiv1\pmod{2}, de novo não podendo ser 0. Assim P(r)\neq0. Conclusão: r ímpar também não pode ser raiz inteira de P.

Passo 5

Como nenhum inteiro par nem ímpar pode ser raiz inteira de P, não existe r\in\mathbb{Z} com P(r)=0. Portanto P(x) não possui raízes inteiras.

Resposta

P(x) não possui raízes inteiras.

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