(IME 87) Seja
um polinômio de grau 16 e coeficientes inteiros. Sabendo que
assume valore impares para
e
, mostre que
não possui raízes inteiras.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um polinômio de grau com coeficientes inteiros. -
é ímpar. -
é ímpar.
O que se pede: mostrar que
não tem raízes inteiras, isto é, não existe
tal que
.
Passo 2
Escrevamos o polinômio em forma de coeficientes:
onde todos os
são inteiros. Observações imediatas extraídas do enunciado:
-
é ímpar, portanto é ímpar. -
é ímpar, portanto a soma dos coeficientes é ímpar.
Antes de seguir, pequeno lembrete didático sobre paridade e congruência módulo
:
- Um inteiro é par quando é congruente a
módulo e ímpar quando é congruente a módulo . - Para qualquer inteiro
e expoente , a classe de módulo depende apenas da classe de módulo : se então para ; se então para todo .
Vamos usar essa ideia: avaliar
módulo
para um inteiro
.
Passo 3
Caso
seja um inteiro par. Então
. Para todo
tem-se
. Logo, ao avaliar
em
e olhar apenas módulo
,
Mas já sabemos que
é ímpar, logo
. Assim
, que não pode ser congruente a
. Portanto
. Conclusão:
par não pode ser raiz inteira de
.
Passo 4
Caso
seja um inteiro ímpar. Então
. Para todo
tem-se
. Assim, avaliando
módulo
,
Mas
é ímpar pelo enunciado, logo
. Portanto
, de novo não podendo ser
. Assim
. Conclusão:
ímpar também não pode ser raiz inteira de
.
Passo 5
Como nenhum inteiro par nem ímpar pode ser raiz inteira de
, não existe
com
. Portanto
não possui raízes inteiras.