Seja um conjunto de números dados em aritmética de ponto flutuante na base 10 , com \mathrm{t}=4 \mathrm{e} o expoente entre [-5,5]. Pede-se:
a) Qual o menor ( m ) e o maior ( M ) número para esse conjunto?
b) O número 100.000 pode ser representado por esse conjunto? Explique.
c) Represente o número 357,26 usando o arredondamento.
d) Represente o número 357,26 usando o truncamento.
e) Supondo que o número 357,26 usando o arredondamento seja igual ao valor exato desse número e que o número 357,26 usando o truncamento seja igual ao valor aproximado, calcule o erro relativo e absoluto desse número.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido e os dados do problema):
  • A aritmética é em base 10.
  • O número de dígitos da mantissa é \mathrm{t}=4.
  • O expoente e varia em [-5,5].
    As perguntas são:
    (a) Qual o menor m e o maior M número para esse conjunto?
    (b) O número 100.000 pode ser representado por esse conjunto? Explique.
    (c) Represente o número 357,26 usando o arredondamento (com \mathrm{t}=4).
    (d) Represente o número 357,26 usando o truncamento (com \mathrm{t}=4).
    (e) Supondo que o número 357,26 usando o arredondamento seja o valor exato e que o truncamento seja a aproximação, calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa aproximação.

Passo 2

Entendendo claramente o formato de números que podemos usar (a teoria necessária, explicada passo a passo):
  • Em aritmética de ponto flutuante normalizada (forma usual), um número não-nulo tem a representação
\pm d_0.d_1d_2\ldots d_{\mathrm{t}-1}\times10^{e},
onde:
  • \pm é o sinal,
  • cada d_i é um dígito decimal em \{0,1,\dots,9\},
  • o dígito \\ d_0 (o primeiro antes da vírgula) é não nulo, ou seja d_0\in\{1,\dots,9\} (isso é a normalização),
  • há exatamente \mathrm{t} dígitos significativos no total (aqui \mathrm{t}=4), ou seja os dígitos vão de d_0 até d_3,
  • o expoente e satisfaz e_{\min}\le e\le e_{\max} (aqui e_{\min}=-5 e e_{\max}=5).
  • Além desses números, normalmente o conjunto inclui 0.
  • Observação prática: sequências de zeros à direita da mantissa são permitidas (por exemplo 1.000\times10^{5} é válido e tem \mathrm{t}=4 dígitos, pois os zeros contam como dígitos significativos).
  • Regras de arredondamento/truncamento que vamos usar:
    • Truncamento: cortar os dígitos além do \mathrm{t}-ésimo sem alterar o dígito \mathrm{t}-ésimo.
    • Arredondamento para o mais próximo (round to nearest): observar o primeiro dígito descartado; se ele for \ge 5 aumenta-se em 1 o último dígito mantido (com carry se necessário), se for <5 mantém-se o último dígito.

Passo 3

(a) Calcular o menor e o maior número representáveis.
  • O maior número positivo corresponde ao maior mantissa possível ( 9.999 com \mathrm{t}=4) e ao maior expoente e_{\max}=5. Então o maior número positivo é
M = 9{,}999\times10^{5}.
  • O menor número (mais negativo) do conjunto é o oposto do maior positivo (assumindo que incluímos sinais \pm), isto é
m = -\,9{,}999\times10^{5}.
  • É útil também mencionar o menor número positivo normalizado (menor magnitude positiva): mantissa mínima normalizada é 1{,}000 com e_{\min}=-5, então o menor positivo normalizado é
1{,}000\times10^{-5}.
(essas quantidades serão usadas para interpretar limites de representação e overflow/underflow).

Passo 4

(b) Verificar se 100.000 é representável.
  • Primeiro escrever 100\,000 em forma normalizada base 10:
100\,000 = 1{,}0000\times10^{5} = 1{,}000\times10^{5},
onde a mantissa é 1{,}000 (podemos escrever com exatamente \mathrm{t}=4 dígitos: 1{,}000). O expoente é e=5, que está dentro do intervalo permitido [-5,5]. Portanto 100\,000 é representável exatamente pelo formato com \mathrm{t}=4.

Passo 5

(c) Representar 357,26 usando arredondamento com \mathrm{t}=4.
  • Primeiro normalizar 357{,}26:
357{,}26 = 3{,}5726\times10^{2}.
  • A mantissa possui, aqui, os dígitos 3,5,7,2,6 (5 dígitos), precisamos manter só \mathrm{t}=4 dígitos: manter 3,5,7,2 e olhar o quinto dígito descartado que é 6.
  • Regra de arredondamento: como o dígito descartado é 6\ge5, aumentamos em 1 o último dígito mantido ( 2 passa a 3). Assim a mantissa arredondada fica 3{,}573.
  • Resultado em forma normalizada:
\text{arredondamento}:\quad 3{,}573\times10^{2}.

Passo 6

(d) Representar 357,26 usando truncamento com \mathrm{t}=4.
  • Novamente a forma normalizada é 3{,}5726\times10^{2}.
  • Truncando após 4 dígitos (cortar o 6) obtemos a mantissa 3{,}572.
  • Resultado em forma normalizada:
\text{truncamento}:\quad 3{,}572\times10^{2}.

Passo 7

(e) Calcular erro absoluto e erro relativo supondo que o valor arredondado é o exato e o truncado é a aproximação.
  • Denotar:
    • x_{\text{exato}} = valor arredondado =3{,}573\times10^{2}.
    • x_{\text{aprox}} = valor truncado =3{,}572\times10^{2}.
  • Converter para forma decimal comum (para ficar claro):
x_{\text{exato}}=357{,}3,\qquad x_{\text{aprox}}=357{,}2.
  • Erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \left|x_{\text{exato}}-x_{\text{aprox}}\right| = |357{,}3-357{,}2| = 0{,}1.
  • Erro relativo (tomando como denominador o valor exato, conforme pedido):
\text{erro relativo} = \frac{\left|x_{\text{exato}}-x_{\text{aprox}}\right|}{\left|x_{\text{exato}}\right|} = \frac{0{,}1}{357{,}3}.
  • Calcular numericamente:
\frac{0{,}1}{357{,}3}\approx 2{,}798\times10^{-4}.

Passo 8

Recapitulando de forma motivadora: já fizemos a teoria (o formato normalizado e as regras de arredondar/truncar) e aplicamos passo a passo ao número 357{,}26. Lembre-se: com \mathrm{t}=4 guardamos 4 dígitos significativos; no arredondamento você olha o próximo dígito e ajusta, no truncamento você corta sem ajustar — isso gera o erro que calculamos. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete esses passos com outros números e fica mais natural!

Resposta

(a) m = -\,9{,}999\times10^{5},\qquad M = 9{,}999\times10^{5}
(b) Sim; 100\,000 = 1{,}000\times10^{5} (representável)
(c) 3{,}573\times10^{2}
(d) 3{,}572\times10^{2}
(e) Erro absoluto =0{,}1. Erro relativo \approx 2{,}798\times10^{-4}.

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