Seja um conjunto de números dados em aritmética de ponto flutuante na base 10 , com
o expoente entre [-5,5]. Pede-se:
a) Qual o menor ( m ) e o maior ( M ) número para esse conjunto?
b) O número 100.000 pode ser representado por esse conjunto? Explique.
c) Represente o número 357,26 usando o arredondamento.
d) Represente o número 357,26 usando o truncamento.
e) Supondo que o número 357,26 usando o arredondamento seja igual ao valor exato desse número e que o número 357,26 usando o truncamento seja igual ao valor aproximado, calcule o erro relativo e absoluto desse número.
a) Qual o menor ( m ) e o maior ( M ) número para esse conjunto?
b) O número 100.000 pode ser representado por esse conjunto? Explique.
c) Represente o número 357,26 usando o arredondamento.
d) Represente o número 357,26 usando o truncamento.
e) Supondo que o número 357,26 usando o arredondamento seja igual ao valor exato desse número e que o número 357,26 usando o truncamento seja igual ao valor aproximado, calcule o erro relativo e absoluto desse número.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido e os dados do problema):
- A aritmética é em base
. - O número de dígitos da mantissa é
. - O expoente
varia em .
As perguntas são:
(a) Qual o menore o maior número para esse conjunto?
(b) O númeropode ser representado por esse conjunto? Explique.
(c) Represente o númerousando o arredondamento (com ).
(d) Represente o númerousando o truncamento (com ).
(e) Supondo que o númerousando o arredondamento seja o valor exato e que o truncamento seja a aproximação, calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa aproximação.
Passo 2
Entendendo claramente o formato de números que podemos usar (a teoria necessária, explicada passo a passo):
- Em aritmética de ponto flutuante normalizada (forma usual), um número não-nulo tem a representação
onde:
-
é o sinal, - cada
é um dígito decimal em , - o dígito
(o primeiro antes da vírgula) é não nulo, ou seja (isso é a normalização), - há exatamente
dígitos significativos no total (aqui ), ou seja os dígitos vão de até , - o expoente
satisfaz (aqui e ). - Além desses números, normalmente o conjunto inclui
. - Observação prática: sequências de zeros à direita da mantissa são permitidas (por exemplo
é válido e tem dígitos, pois os zeros contam como dígitos significativos). - Regras de arredondamento/truncamento que vamos usar:
- Truncamento: cortar os dígitos além do
-ésimo sem alterar o dígito -ésimo. - Arredondamento para o mais próximo (round to nearest): observar o primeiro dígito descartado; se ele for
aumenta-se em o último dígito mantido (com carry se necessário), se for mantém-se o último dígito.
- Truncamento: cortar os dígitos além do
Passo 3
(a) Calcular o menor e o maior número representáveis.
- O maior número positivo corresponde ao maior mantissa possível (
com ) e ao maior expoente . Então o maior número positivo é
- O menor número (mais negativo) do conjunto é o oposto do maior positivo (assumindo que incluímos sinais
), isto é
- É útil também mencionar o menor número positivo normalizado (menor magnitude positiva): mantissa mínima normalizada é
com , então o menor positivo normalizado é
(essas quantidades serão usadas para interpretar limites de representação e overflow/underflow).
Passo 4
(b) Verificar se
é representável.
- Primeiro escrever
em forma normalizada base :
onde a mantissa é
(podemos escrever com exatamente
dígitos:
). O expoente é
, que está dentro do intervalo permitido
. Portanto
é representável exatamente pelo formato com
.
Passo 5
(c) Representar
usando arredondamento com
.
- Primeiro normalizar
:
- A mantissa possui, aqui, os dígitos
(5 dígitos), precisamos manter só dígitos: manter e olhar o quinto dígito descartado que é . - Regra de arredondamento: como o dígito descartado é
, aumentamos em o último dígito mantido ( passa a ). Assim a mantissa arredondada fica . - Resultado em forma normalizada:
Passo 6
(d) Representar
usando truncamento com
.
- Novamente a forma normalizada é
. - Truncando após 4 dígitos (cortar o
) obtemos a mantissa . - Resultado em forma normalizada:
Passo 7
(e) Calcular erro absoluto e erro relativo supondo que o valor arredondado é o exato e o truncado é a aproximação.
- Denotar:
-
valor arredondado . -
valor truncado .
-
- Converter para forma decimal comum (para ficar claro):
- Erro absoluto:
- Erro relativo (tomando como denominador o valor exato, conforme pedido):
- Calcular numericamente:
Passo 8
Recapitulando de forma motivadora: já fizemos a teoria (o formato normalizado e as regras de arredondar/truncar) e aplicamos passo a passo ao número
. Lembre-se: com
guardamos 4 dígitos significativos; no arredondamento você olha o próximo dígito e ajusta, no truncamento você corta sem ajustar — isso gera o erro que calculamos. Vai dar tudo certo na prova — respira, repete esses passos com outros números e fica mais natural!
Resposta
(a)
(b) Sim; (representável)
(c)
(d)
(e) Erro absoluto . Erro relativo
.
(b) Sim;
(c)
(d)
(e) Erro absoluto