Um relógio digital antigo exibe números em base 16. Se o mostrador marca 1 A_{16} minutos, quantos minutos isso representa em decimal?

Passo 1

O enunciado diz que um relógio digital antigo usa números em base 16 e que o mostrador marca \text{1A}_{16} minutos. A pergunta é: quantos minutos isso representa em decimal? As informações relevantes são: o número exibido é \text{1A}_{16} (hexadecimal) e precisamos convertê‑lo para a base decimal.

Passo 2

Explicando o que é base 16 de forma bem clara: em um sistema de numeração posicional de base b cada dígito ocupa uma posição com peso b^k (onde k é a posição, começando de 0 na direita). Na base 16 (hexadecimal) os dígitos possíveis são
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},
onde \mathrm{A}=10, \mathrm{B}=11, …, \mathrm{F}=15. Ou seja, cada dígito representa um valor entre 0 e 15.

Passo 3

Como \text{1A}_{16} tem dois dígitos, a conversão usa os pesos 16^1 (para o dígito mais à esquerda) e 16^0 (para o dígito mais à direita). Em geral, para um número hexadecimal de dois dígitos d_1d_0 vale:
d_1d_0_{16} = d_1\times 16^1 + d_0\times 16^0.

Passo 4

Identificando os dígitos de \text{1A}_{16}: o dígito mais à esquerda é 1, que vale \,1 em decimal; o dígito mais à direita é \mathrm{A}, que vale \,10 em decimal (lembre que \mathrm{A}=10 na base 16).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de conversão substituindo os valores dos dígitos:
\text{1A}_{16} = 1\times 16^1 + 10\times 16^0 = 1\times 16 + 10\times 1 = 16 + 10 = 26.

Passo 6

Checagem rápida para ganhar confiança: converter 26 decimal de volta para hexadecimal dá divisão por 16: 26\div16=1 quociente e resto 10, resto 10 corresponde a \mathrm{A}, então obtemos \text{1A}_{16}, consistente com o que tínhamos.

Resposta

26

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