Use o método Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 10^-2.
2 cos (x)-exp (x) / 2=0

Passo 1

Beleza! Então o enunciado diz: “Use o método de Newton–Raphson para achar a menor raiz positiva de
2cos(x)-e^x2=0
com precisão .”
Isso é um problema de Métodos Numéricos, mais especificamente Newton–Raphson. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Definir a função e a sua derivada .
  2. Escolher um chute inicial .
  3. Aplicar a fórmula de Newton até que a diferença entre iterações seja menor que .

Passo 2

Primeiro a gente escreve:
f(x)=2cos(x)-e^x2
Depois calcula a derivada f'(x) = -2sin(x) - e^x2 . Lembrando que
– derivada de é ,
– derivada de é .
Logo:

Passo 3

Agora a fórmula de Newton–Raphson é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
A gente precisa de um chute inicial. Como x1 = 1 - -0.2785-3.0421 = 1 - 0.0916 = 0.9084 e
, sabemos que há raiz entre 0 e 1.6. Vamos chutar .
Calculemos :
  1. .
  2. .

Passo 4

Vamos a mais uma iteração e checar a precisão:
  1. x2 = 0.9084 - -0.0102-2.8196 = 0.9084 - 0.0036 = 0.9048 .
  2. .
Agora a diferença . Isso já satisfaz nossa precisão de .

Resposta

A menor raiz positiva, com precisão boxed0.90 , é aproximadamente

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