Os números a=0.4523 \times 10^{4}, b=0.2116 \times 10^{-3} e c=0.2583 \times 10^{1} são fornecidos a uma máquina que trabalha em ponto flutuante e com quatro dígitos na mantissa. Nesta máquina as operações têm arredondamento no corte de dígitos, ou seja, se o primeiro dígito a ser desprezado for maior ou igual a cinco, o último dígito significativo é arredondado para cima. Caso contrário, despreza-o. Sendo assim, calcule o resultado da expressão:
a-b-c

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor da expressão a-b-c numa máquina de ponto flutuante com mantissa de quatro dígitos e arredondamento (arredonda para cima se o primeiro dígito descartado \ge 5, caso contrário descarta). Os dados fornecidos são:
  • a=0{,}4523\times10^{4}
  • b=0{,}2116\times10^{-3}
  • c=0{,}2583\times10^{1}
Observação sobre ordem de avaliação: a subtração é feita da esquerda para a direita, ou seja vamos calcular primeiro (a-b) e depois (a-b)-c. Vou seguir essa ordem, simulando o arredondamento da máquina em cada operação.

Passo 2

Primeiro, converto os números para valores decimais para intuição (apenas para entender as ordens de grandeza; a máquina trabalha com as formas em notação científica fornecidas):
a=0{,}4523\times10^{4}=4523, \qquad b=0{,}2116\times10^{-3}=0{,}0002116, \qquad c=0{,}2583\times10^{1}=2{,}583.
As entradas já têm mantissa com quatro dígitos significativos, logo ao serem armazenadas inicialmente na máquina elas ficam exatamente como dadas (não há truncamento inicial).
Explicação didática rápida sobre mantissa e unidade de last place (ULP):
  • A máquina representa números na forma \text{(mantissa de 4 dígitos)}\times10^{e}í.
  • Para um número com expoente e, o menor incremento representável na vizinhança desse número (a ULP) tem ordem 10^{e-4}. Ou seja, o dígito menos significativo da mantissa corresponde a 10^{e-4} na escala decimal.

Passo 3

Agora calculo a-b. Para somar/subtrair precisamos alinhar os expoentes. a tem expoente 4 e b tem expoente -3. Escrevendo b com expoente 4:
b=0{,}2116\times10^{-3}=0{,}00000002116\times10^{4}.
Compare as mantissas (com expoente 4):
a:\\\ 0{,}4523\times10^{4},\qquad b:\\\ 0{,}00000002116\times10^{4}.
Aqui a ULP para expoente 4 é
\text{ULP}=10^{4-4}=10^{0}=1.
Isto significa que, ao representar números com expoente 4 e mantissa de 4 dígitos, a menor variação possível é 1. O termo b reescrito com expoente 4 tem ordem 2{,}116\times10^{-8} na mantissa, muito menor que a ULP; ao alinhar e limitar a quatro dígitos na mantissa, todos os dígitos relevantes de b ficam muito à direita e serão descartados. Em termos práticos, ao realizar a-b na máquina, b é “inapagável” dentro da precisão disponível — ele é arredondado a zero no alinhamento.
Portanto, o resultado armazenado pela máquina para a-b é igual a a sem alteração:
a-b \approx 0{,}4523\times10^{4}.

Passo 4

Agora calculo (a-b)-c. Usarei o resultado arredondado do passo anterior: r_1=0{,}4523\times10^{4}.
Escrevo c com expoente 4 para alinhar:
c=0{,}2583\times10^{1}=0{,}0002583\times10^{4}.
Faço a subtração das mantissas (com expoente 4):
0{,}4523-0{,}0002583=0{,}4520417.
Agora aplico o arredondamento da máquina para manter apenas quatro dígitos na mantissa. A mantissa atual é 0{,}4520417; os quatro primeiros dígitos significativos são 0{,}4520 e o quinto dígito é 4. Como o quinto dígito é menor que 5, pelo critério dado descartamos os dígitos extras sem aumentar o quarto dígito. Assim o número arredondado fica
0{,}4520\times10^{4}.
Convertendo para decimal, isso é 0{,}4520\times10^{4}=4520.

Passo 5

Resumo do que aconteceu com a precisão (explicação pedagógica rápida): o subtraendo b era tão pequeno comparado a a que, ao alinhar expoentes para a subtração, seus dígitos ficaram além da capacidade da mantissa de quatro dígitos e foram descartados (efeito de underflow relativo ou “flush to zero” relativo). Já o c tem magnitude suficiente para afetar os quatro primeiros dígitos de a quando subtraído, e o resultado final foi arredondado à mantissa de quatro dígitos como mostrado.

Resposta

0{,}4520\times10^{4}

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