Os números
e
são fornecidos a uma máquina que trabalha em ponto flutuante e com quatro dígitos na mantissa. Nesta máquina as operações têm arredondamento no corte de dígitos, ou seja, se o primeiro dígito a ser desprezado for maior ou igual a cinco, o último dígito significativo é arredondado para cima. Caso contrário, despreza-o. Sendo assim, calcule o resultado da expressão:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Dados (peguei diretamente do enunciado):
-
, -
, -
.
-
-
O que é pedido: calcular o valor da expressão
usando uma máquina de ponto flutuante com mantissa de quatro dígitos. A máquina usa arredondamento do tipo “arredonda para cima se o primeiro dígito desprezado ”, caso contrário descarta. -
Informações importantes para a resolução:
- A máquina guarda apenas quatro dígitos significativos na mantissa. Em cada operação aritmética (multiplicação, soma/subtração) o resultado deve ser arredondado para caber nesses quatro dígitos.
- Vou aplicar essa regra passo a passo: primeiro calcular
e arredondar ao formato da máquina; em seguida proceder à subtração com alinhamento de expoentes, aplicando os arredondamentos necessários.
Passo 2
Breve aula: como funciona o ponto flutuante decimal com quatro dígitos de mantissa e arredondamento.
- Representação: um número é armazenado na forma
, onde é a mantissa e tem exatamente quatro dígitos significativos (no formato usado aqui costuma-se escrever , mas durante alinhamento pode aparecer deslocamento). - Regra de arredondamento (descrita no enunciado): ao cortar dígitos além do quarto, observa-se o primeiro dígito desprezado:
- se este dígito
, soma-se ao quarto dígito (arredonda para cima); - caso contrário, despreza-se e fica o quarto dígito como está.
- se este dígito
- Procedimento prático em operações:
- executa-se a operação exata (ou com precisão superior),
- normaliza o resultado (mantissa entre
e , se for esse o formato adotado) e - arredonda a mantissa para 4 dígitos conforme a regra acima.
- Em soma/subtração é necessário alinhar os expoentes (deslocar a mantissa do número com menor expoente), e esse deslocamento pode gerar perda de dígitos que depois são arredondados.
Passo 3
Passo 1 da conta: transformar os números em valores numéricos simples (para facilitar a multiplicação).
- Calcular os valores reais (sem arredondamento da máquina ainda):
-
. -
. -
.
-
Passo 4
Calcular o produto
exatamente (ou com precisão suficiente) antes do arredondamento da máquina.
- Produto exato:
Faço a multiplicação exata por etapas: Calculo : Portanto
Passo 5
Arredondar o produto
para o formato da máquina (mantissa com 4 dígitos).
- Escrevo
em forma de mantissa: - Mantissa com 4 dígitos significativos: os primeiros quatro dígitos são
. O quinto dígito é (pois a sequência é ). - Pela regra de arredondamento, como o quinto dígito
, arredonda-se o quarto dígito para cima: - Assim, na máquina temos
Passo 6
Preparar
no formato da máquina (verificar se já está com 4 dígitos).
- Dado
. Em notação normalizada usada no enunciado: . - A mantissa
tem exatamente 4 dígitos significativos, então já está representável sem arredondamento adicional:
Passo 7
Fazer a subtração
com alinhamento de expoentes e aplicar arredondamento final.
- Os expoentes atuais são:
- para
: (expoente ), - para
: (expoente ).
- para
- Para somar/subtrair temos que alinhar expoentes ao maior expoente (
). Converto para expoente : - Ao deslocar a mantissa para alinhar, surgem agora mais dígitos; a máquina só guarda 4 dígitos na mantissa, então é preciso arredondar
para 4 dígitos: - Os quatro primeiros dígitos relevantes são
e o próximo dígito é (menor que ), então não se arredonda para cima.
- Os quatro primeiros dígitos relevantes são
- Agora subtraio as mantissas com expoente
: Calculo a diferença exata das mantissas (com aritmética normal): Então - Verifico se é necessário arredondar o resultado: a mantissa
já tem 4 dígitos significativos, então está no formato pedido. Se eu quisesse escrever de outra forma, posso normalizar para expoente : Mas a forma normalizada com mantissa entre e é .
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida (para te dar segurança).
- Resumo dos arredondamentos:
- Multiplicação:
. - Alinhamento para subtração:
(arredondamento ao deslocar). - Subtração:
.
- Multiplicação:
- Resultado final armazenado na máquina (mantissa 4 dígitos):
, que corresponde a em notação usual.