Quais os números compreendidos entre 100 e 300 divisíveis ao mesmo tempo por 6,9 e 15?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números compreendidos entre
e
que sejam divisíveis ao mesmo tempo por
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- Intervalo: todos os números entre
e . Vou considerar inclusive as extremidades (ou seja, e pertencem ao intervalo caso satisfaçam a condição). - Condição de divisibilidade: o número deve ser divisível por
, por e por simultaneamente.
Passo 2
Estratégia simples e eficiente (explicando o porquê): se um número é divisível por
, por
e por
ao mesmo tempo, então ele é divisível pelo mínimo múltiplo comum desses três números. Esse mínimo múltiplo comum é o menor número positivo que é múltiplo de
, de
e de
simultaneamente. Assim, primeiro vamos calcular esse mínimo múltiplo comum (MMC). Depois, vamos listar os múltiplos desse MMC que caem entre
e
.
Vou explicar como encontrar o MMC usando fatoração em primos (método padrão): fatoramos cada número em primos e, para cada primo, tomamos a maior potência que aparece entre as fatorações; o produto dessas maiores potências é o MMC.
Passo 3
Fatoração em primos dos números dados (cada fator é um número primo):
Agora, para obter o MMC, pegamos cada primo que aparece (
,
,
) com a maior potência que aparece em qualquer fatoração:
- para o primo
: a maior potência presente é (vem de ); - para o primo
: a maior potência presente é (vem de ); - para o primo
: a maior potência presente é (vem de ).
Portanto o MMC é o produto dessas potências.
Passo 4
Cálculo do MMC:
Calculemos passo a passo:
Logo,
Interpretação: todo número que seja divisível por
, por
e por
simultaneamente é múltiplo de
. Ou seja, procuramos múltiplos de
dentro do intervalo.
Passo 5
Agora vamos achar os múltiplos de
entre
e
.
Listamos os múltiplos de
em ordem:
Entre
e
caem os múltiplos
e
, porque:
-
é menor que (não serve), -
está entre e , -
está entre e , -
é maior que (não serve).
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): dividimos
e
por
,
e
para confirmar divisibilidade.
Para :
Para
Todas dão inteiro — ok.
Para
:
Também todas inteiras — ok.
Resposta
180
270
270