Quais os números compreendidos entre 100 e 300 divisíveis ao mesmo tempo por 6,9 e 15?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números compreendidos entre 100 e 300 que sejam divisíveis ao mesmo tempo por 6, 9 e 15.
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo: todos os números entre 100 e 300. Vou considerar inclusive as extremidades (ou seja, 100 e 300 pertencem ao intervalo caso satisfaçam a condição).
  • Condição de divisibilidade: o número deve ser divisível por 6, por 9 e por 15 simultaneamente.

Passo 2

Estratégia simples e eficiente (explicando o porquê): se um número é divisível por 6, por 9 e por 15 ao mesmo tempo, então ele é divisível pelo mínimo múltiplo comum desses três números. Esse mínimo múltiplo comum é o menor número positivo que é múltiplo de 6, de 9 e de 15 simultaneamente. Assim, primeiro vamos calcular esse mínimo múltiplo comum (MMC). Depois, vamos listar os múltiplos desse MMC que caem entre 100 e 300.
Vou explicar como encontrar o MMC usando fatoração em primos (método padrão): fatoramos cada número em primos e, para cada primo, tomamos a maior potência que aparece entre as fatorações; o produto dessas maiores potências é o MMC.

Passo 3

Fatoração em primos dos números dados (cada fator é um número primo):
6 = 2 \cdot 3,
9 = 3^2,
15 = 3 \cdot 5.
Agora, para obter o MMC, pegamos cada primo que aparece ( 2, 3, 5) com a maior potência que aparece em qualquer fatoração:
  • para o primo 2: a maior potência presente é 2^1 (vem de 6);
  • para o primo 3: a maior potência presente é 3^2 (vem de 9);
  • para o primo 5: a maior potência presente é 5^1 (vem de 15).
Portanto o MMC é o produto dessas potências.

Passo 4

Cálculo do MMC:
\text{MMC}(6,9,15) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1.
Calculemos passo a passo:
3^2 = 9,
2 \cdot 9 = 18,
18 \cdot 5 = 90.
Logo,
\text{MMC}(6,9,15)=90.
Interpretação: todo número que seja divisível por 6, por 9 e por 15 simultaneamente é múltiplo de 90. Ou seja, procuramos múltiplos de 90 dentro do intervalo.

Passo 5

Agora vamos achar os múltiplos de 90 entre 100 e 300.
Listamos os múltiplos de 90 em ordem:
1\cdot 90 = 90,\quad 2\cdot 90 = 180,\quad 3\cdot 90 = 270,\quad 4\cdot 90 = 360,\ldots
Entre 100 e 300 caem os múltiplos 180 e 270, porque:
  • 90 é menor que 100 (não serve),
  • 180 está entre 100 e 300,
  • 270 está entre 100 e 300,
  • 360 é maior que 300 (não serve).

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): dividimos 180 e 270 por 6, 9 e 15 para confirmar divisibilidade.
Para 180:
180\div 6 = 30,\quad 180\div 9 = 20,\quad 180\div 15 = 12.
Todas dão inteiro — ok.
Para 270:
270\div 6 = 45,\quad 270\div 9 = 30,\quad 270\div 15 = 18.
Também todas inteiras — ok.

Resposta

180
270

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