Quais os dois números de três algarismo divisíveis ao mesmo tempo por 8,9 e 10 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais os dois números de três algarismo divisíveis ao mesmo tempo por 8, 9 e 10?”
Informações dadas e condição que precisamos satisfazer:
  • Queremos números com exatamente três algarismos, ou seja, entre 100 e 999 inclusive.
  • Cada número deve ser divisível por 8, por 9 e por 10 ao mesmo tempo.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): se um número é divisível por vários inteiros ao mesmo tempo, então ele é divisível pelo mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado LCM) desses inteiros. Ou seja, procurar números divisíveis por 8, 9 e 10 é o mesmo que procurar múltiplos de \mathrm{MMC}(8,9,10). Vou mostrar passo a passo como achar esse MMC.

Passo 3

Primeiro calculemos as fatorações em primos de cada número (isso ajuda a montar o MMC):
8 = 2^{3}
9 = 3^{2}
10 = 2\cdot 5
Explicando: escrevemos cada número como produto de potências de primos; por exemplo 8 é 2 multiplicado por si mesmo três vezes, logo 2^{3}.

Passo 4

Para obter o MMC pegamos, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações:
  • para o primo 2: maior potência é 2^{3} (vem de 8);
  • para o primo 3: maior potência é 3^{2} (vem de 9);
  • para o primo 5: maior potência é 5^{1} (vem de 10).
    Portanto
\mathrm{MMC}(8,9,10) = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5.

Passo 5

Calculemos o valor numérico do MMC:
2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5 = 8\cdot 9\cdot 5.
Agora multiplicamos passo a passo: 8\cdot 9 = 72 e 72\cdot 5 = 360. Logo
\mathrm{MMC}(8,9,10)=360.

Passo 6

Conclusão intermediária: qualquer número divisível por 8, 9 e 10 ao mesmo tempo é um múltiplo de 360. Ou seja, tem a forma
360k,
onde k é um inteiro positivo. Agora precisamos achar quais valores de k produzem números com três algarismos (entre 100 e 999).

Passo 7

Impondo a condição de três algarismos:
100 \le 360k \le 999.
Dividindo todas as partes por 360:
\frac{100}{360} \le k \le \frac{999}{360}.
Calculemos as frações aproximadas (mas só precisamos dos inteiros possíveis):
\frac{100}{360}\approx 0{,}277\quad\text{e}\quad \frac{999}{360}\approx 2{,}775.
Como k tem que ser inteiro e positivo, as possibilidades são k=1 e k=2.

Passo 8

Calculando os múltiplos correspondentes:
360\cdot 1 = 360,
360\cdot 2 = 720.
Esses são candidatos — ambos têm três algarismos.

Passo 9

Verificação rápida (para ter certeza): precisamos checar que 360 e 720 realmente são divisíveis por 8, 9 e 10.
  • Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se termina em 0. Tanto 360 quanto 720 terminam em 0, logo são divisíveis por 10.
  • Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se a soma dos dígitos é múltipla de 9. Soma dos dígitos de 360 é 3+6+0=9 (divisível por 9). Soma dos dígitos de 720 é 7+2+0=9 (também divisível por 9).
  • Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se os seus últimos três dígitos formam um múltiplo de 8. Para 360, 360\div 8 = 45 inteiro; para 720, 720\div 8 = 90 inteiro. Logo ambos são divisíveis por 8.

Passo 10

Conclusão final: os únicos múltiplos de 360 que estão no intervalo [100,999] são 360 e 720. Portanto esses são os dois números de três algarismos que satisfazem a condição.

Resposta

360
720

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