Quais os dois números de três algarismo divisíveis ao mesmo tempo por 8,9 e 10 ?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais os dois números de três algarismo divisíveis ao mesmo tempo por
,
e
?”
Informações dadas e condição que precisamos satisfazer:
Informações dadas e condição que precisamos satisfazer:
- Queremos números com exatamente três algarismos, ou seja, entre
e inclusive. - Cada número deve ser divisível por
, por e por ao mesmo tempo.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): se um número é divisível por vários inteiros ao mesmo tempo, então ele é divisível pelo mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado LCM) desses inteiros. Ou seja, procurar números divisíveis por
,
e
é o mesmo que procurar múltiplos de
. Vou mostrar passo a passo como achar esse MMC.
Passo 3
Primeiro calculemos as fatorações em primos de cada número (isso ajuda a montar o MMC):
Explicando: escrevemos cada número como produto de potências de primos; por exemplo
é
multiplicado por si mesmo três vezes, logo
.
Passo 4
Para obter o MMC pegamos, para cada primo, a maior potência que aparece entre as fatorações:
- para o primo
: maior potência é (vem de ); - para o primo
: maior potência é (vem de ); - para o primo
: maior potência é (vem de ).
Portanto
Passo 5
Calculemos o valor numérico do MMC:
Agora multiplicamos passo a passo:
e
. Logo
Passo 6
Conclusão intermediária: qualquer número divisível por
,
e
ao mesmo tempo é um múltiplo de
. Ou seja, tem a forma
onde
é um inteiro positivo. Agora precisamos achar quais valores de
produzem números com três algarismos (entre
e
).
Passo 7
Impondo a condição de três algarismos:
Dividindo todas as partes por
:
Calculemos as frações aproximadas (mas só precisamos dos inteiros possíveis):
Como
tem que ser inteiro e positivo, as possibilidades são
e
.
Passo 8
Calculando os múltiplos correspondentes:
Esses são candidatos — ambos têm três algarismos.
Passo 9
Verificação rápida (para ter certeza): precisamos checar que
e
realmente são divisíveis por
,
e
.
- Divisibilidade por
: um número é divisível por se termina em . Tanto quanto terminam em , logo são divisíveis por . - Divisibilidade por
: um número é divisível por se a soma dos dígitos é múltipla de . Soma dos dígitos de é (divisível por ). Soma dos dígitos de é (também divisível por ). - Divisibilidade por
: um número é divisível por se os seus últimos três dígitos formam um múltiplo de . Para , inteiro; para , inteiro. Logo ambos são divisíveis por .
Passo 10
Conclusão final: os únicos múltiplos de
que estão no intervalo
são
e
. Portanto esses são os dois números de três algarismos que satisfazem a condição.