Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes é 8. Determinar os dois inteiros, sabendo-se que sua soma é 384 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que encontremos dois inteiros positivos:
- Dois inteiros positivos, que chamaremos de
e . - Ao dividir cada um pelo seu máximo divisor comum, os quocientes obtidos têm soma
. - A soma dos dois inteiros é
.
O que é pedido: determinar quais são os valores dee que satisfazem essas condições.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação conveniente (isso é padrão para problemas com mdc). Seja
o máximo divisor comum de
e
. Então podemos escrever
onde
e
são inteiros positivos. Explico por que podemos escrever assim: dividir
e
pelo seu divisor comum
dá dois inteiros
e
porque
divide ambos. Além disso, por definição de
como o maior divisor comum, os inteiros
e
não têm fator primo em comum: isto é,
. Se
fosse maior que
, então
não seria o maior divisor comum de
e
.
Passo 3
Usamos agora as informações do enunciado em termos de
.
A soma dos quocientes ao dividir por é
A soma dos quocientes ao dividir por
A soma dos inteiros originais é
Pelo enunciado temos
. Substituindo
obtemos
Agora resolvemos para
:
Fazendo a divisão (ou lembrando que
) obtemos
Passo 4
Agora sabemos que
e que os quocientes
e
são inteiros positivos, coprimos, com soma
. Então precisamos achar pares positivos
tais que
Listamos todos os pares de inteiros positivos que somam
(ordem não importa, mas listamos para verificar):
Agora verificamos
de cada par:
-
(todo número é coprimo com ). -
, pois é múltiplo de ; então não são coprimos. -
(não têm fatores primos em comum). -
, obviamente não são coprimos.
Portanto, os pares compatíveis comsão e . (Os pares com ordem trocada e representam as mesmas soluções trocando e .)
Passo 5
Voltando aos inteiros originais: lembrando que
e
com
, calculamos as duas possibilidades.
Para
:
Conferimos:
e
porque
e
.
Para
:
Conferimos:
e
porque
e
.
Ambas as opções satisfazem todas as condições do enunciado.