Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes é 8. Determinar os dois inteiros, sabendo-se que sua soma é 384 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que encontremos dois inteiros positivos:
  • Dois inteiros positivos, que chamaremos de \,a e \,b.
  • Ao dividir cada um pelo seu máximo divisor comum, os quocientes obtidos têm soma \,8.
  • A soma dos dois inteiros é \,384.
    O que é pedido: determinar quais são os valores de \,a e \,b que satisfazem essas condições.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação conveniente (isso é padrão para problemas com mdc). Seja \,d=\gcd(a,b) o máximo divisor comum de \,a e \,b. Então podemos escrever
a=d x,\qquad b=d y,
onde \,x e \,y são inteiros positivos. Explico por que podemos escrever assim: dividir \,a e \,b pelo seu divisor comum \,d dá dois inteiros \,x e \,y porque \,d divide ambos. Além disso, por definição de \,d como o maior divisor comum, os inteiros \,x e \,y não têm fator primo em comum: isto é, \gcd(x,y)=1. Se \gcd(x,y) fosse maior que \,1, então \,d não seria o maior divisor comum de \,a e \,b.

Passo 3

Usamos agora as informações do enunciado em termos de \,d,x,y.
A soma dos quocientes ao dividir por \,d é
x+y=8.
A soma dos inteiros originais é
a+b = d x + d y = d(x+y).
Pelo enunciado temos a+b=384. Substituindo x+y=8 obtemos
d\cdot 8 = 384.
Agora resolvemos para \,d:
d=\frac{384}{8}.
Fazendo a divisão (ou lembrando que 8\cdot 48=384) obtemos
d=48.

Passo 4

Agora sabemos que \,d=48 e que os quocientes \,x e \,y são inteiros positivos, coprimos, com soma \,8. Então precisamos achar pares positivos (x,y) tais que
x+y=8\quad\text{e}\quad \gcd(x,y)=1.
Listamos todos os pares de inteiros positivos que somam \,8 (ordem não importa, mas listamos para verificar):
(1,7),\\ (2,6),\\ (3,5),\\ (4,4).
Agora verificamos \gcd de cada par:
  • \gcd(1,7)=1 (todo número é coprimo com 1).
  • \gcd(2,6)=2, pois 6 é múltiplo de 2; então não são coprimos.
  • \gcd(3,5)=1 (não têm fatores primos em comum).
  • \gcd(4,4)=4, obviamente não são coprimos.
    Portanto, os pares compatíveis com \gcd(x,y)=1 são (1,7) e (3,5). (Os pares com ordem trocada (7,1) e (5,3) representam as mesmas soluções trocando a e b.)

Passo 5

Voltando aos inteiros originais: lembrando que a=d x e b=d y com d=48, calculamos as duas possibilidades.
Para (x,y)=(1,7):
a=48\cdot 1=48,\qquad b=48\cdot 7=336.
Conferimos: 48+336=384 e \gcd(48,336)=48 porque 336/48=7 e \gcd(1,7)=1.
Para (x,y)=(3,5):
a=48\cdot 3=144,\qquad b=48\cdot 5=240.
Conferimos: 144+240=384 e \gcd(144,240)=48 porque 144/48=3,\;240/48=5 e \gcd(3,5)=1.
Ambas as opções satisfazem todas as condições do enunciado.

Resposta

48 e 336
144 e 240

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