(a) Sejam
termos distintos de uma progressão aritmética. Mostre que
(b) Prove que os números
e
não podem ser termos (não necessariamente consecutivos) de uma mesma progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado trata de progressão aritmética. Se
é uma P.A. de primeiro termo
e razão
, então seu termo geral é
Em (a) precisamos usar essa fórmula para mostrar que
Em (b) vamos supor que
sejam termos de uma mesma P.A. e obter uma contradição usando o resultado de (a).
Passo 2
Usando
, temos
e
Dividindo as duas expressões, o
cancela e vem
que é exatamente o que queríamos.
Passo 3
Suponha, para fins de contradição, que exista uma P.A. em que
,
e
para três índices distintos
.
Pelo item (a) deveríamos ter
Pelo item (a) deveríamos ter
O lado direito é um número racional, pois é quociente de dois inteiros. Logo o lado esquerdo também teria que ser racional. Mas vamos mostrar que
é irracional.
Passo 4
Para ver que
é irracional, faça a seguinte observação: se
, então
. Elevando ao quadrado,
Isto é
Agora, o lado esquerdo contém
e
, enquanto o direito é racional. Para essa igualdade valer, teríamos de eliminar as raízes irracionais, o que implicaria em uma relação linear não trivial entre
com coeficientes racionais — impossível, pois essas raízes são linearmente independentes sobre
. Portanto
não pode ser racional.
Como chegamos à conclusão de que o quociente
é irracional, ele não pode igualar
. Isso contradiz a condição necessária para pertencerem à mesma P.A.
Resposta
(a) Conforme mostrado,
(b) Se
fossem três termos distintos de uma P.A., teríamos
mas mostramos que esse valor é irracional. Logo, eles não podem pertencer à mesma progressão aritmética.