(a) Sejam a_{m}, a_{n}, a_{p} termos distintos de uma progressão aritmética. Mostre que
\frac{a_{m}-a_{n}}{a_{n}-a_{p}}=\frac{m-n}{n-p}
(b) Prove que os números \sqrt{2}, \sqrt{3} e \sqrt{5} não podem ser termos (não necessariamente consecutivos) de uma mesma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado trata de progressão aritmética. Se (a_{n}) é uma P.A. de primeiro termo a_{1} e razão d, então seu termo geral é
a_{k}=a_{1}+(k-1)d.
Em (a) precisamos usar essa fórmula para mostrar que
\frac{a_{m}-a_{n}}{a_{n}-a_{p}}=\frac{m-n}{n-p}.
Em (b) vamos supor que \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5} sejam termos de uma mesma P.A. e obter uma contradição usando o resultado de (a).

Passo 2

Usando a_{k}=a_{1}+(k-1)d, temos
a_{m}-a_{n}=\bigl[a_{1}+(m-1)d\bigr]-\bigl[a_{1}+(n-1)d\bigr] =(m-n)\,d
e
a_{n}-a_{p}=\bigl[a_{1}+(n-1)d\bigr]-\bigl[a_{1}+(p-1)d\bigr] =(n-p)\,d.
Dividindo as duas expressões, o d cancela e vem
\frac{a_{m}-a_{n}}{a_{n}-a_{p}} =\frac{(m-n)\,d}{(n-p)\,d} =\frac{m-n}{\,n-p\,},
que é exatamente o que queríamos.

Passo 3

Suponha, para fins de contradição, que exista uma P.A. em que \sqrt{2}=a_{m}, \sqrt{3}=a_{n} e \sqrt{5}=a_{p} para três índices distintos m,n,p.
Pelo item (a) deveríamos ter
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} =\frac{m-n}{n-p}.
O lado direito é um número racional, pois é quociente de dois inteiros. Logo o lado esquerdo também teria que ser racional. Mas vamos mostrar que
r = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}
é irracional.

Passo 4

Para ver que r é irracional, faça a seguinte observação: se r\in\mathbb{Q}, então \sqrt{2}-\sqrt{3}=r(\sqrt{3}-\sqrt{5}). Elevando ao quadrado,
2 + 3 - 2\sqrt{6} = r^{2}\bigl(3+5 -2\sqrt{15}\bigr) =8r^{2}-2r^{2}\sqrt{15}.
Isto é
5 - 2\sqrt{6} = 8r^{2} - 2r^{2}\sqrt{15} \quad\Longrightarrow\quad 2r^{2}\sqrt{15} - 2\sqrt{6} = 8r^{2} - 5.
Agora, o lado esquerdo contém \sqrt{15} e \sqrt{6}, enquanto o direito é racional. Para essa igualdade valer, teríamos de eliminar as raízes irracionais, o que implicaria em uma relação linear não trivial entre 1,\sqrt{6},\sqrt{15} com coeficientes racionais — impossível, pois essas raízes são linearmente independentes sobre \mathbb{Q}. Portanto r não pode ser racional.
Como chegamos à conclusão de que o quociente \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{3}\bigr)/\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{5}\bigr) é irracional, ele não pode igualar (m-n)/(n-p). Isso contradiz a condição necessária para pertencerem à mesma P.A.

Resposta

(a) Conforme mostrado,
\frac{a_{m}-a_{n}}{a_{n}-a_{p}} =\frac{m-n}{n-p}.
(b) Se \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5} fossem três termos distintos de uma P.A., teríamos
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \in\mathbb{Q},
mas mostramos que esse valor é irracional. Logo, eles não podem pertencer à mesma progressão aritmética.

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