Visualizando \sum_{k=0}^{n} x^{n-k} y^{k} coma a soma dos termos de uma P.G., estabeleça a identidade
x^{n}+x^{n-1} y+\ldots+x y^{n-1}+y^{n}=\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma
\sum_{k=0}^{n}x^{\,n-k}y^{\,k} = x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+y^{n}
pode ser escrita como
\frac{x^{\,n+1}-y^{\,n+1}}{x-y}.
O conteúdo aqui é a soma finita de uma progressão geométrica (PG).

Passo 2

Observamos que os termos formam uma PG de primeiro termo
a = x^{n}
e razão
r = \frac{y}{x},
com n+1 termos. Para r\neq 1, a soma de uma PG é
S = a\,\frac{1 - r^{\,n+1}}{1 - r}.

Passo 3

Substituindo a e r na fórmula:
\sum_{k=0}^{n}x^{\,n-k}y^{\,k} = x^{n}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{n+1}}{1 - \tfrac{y}{x}}.
O denominador simplifica-se a
1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x},
e o numerador a
x^{n}\Bigl(1 - \frac{y^{n+1}}{x^{n+1}}\Bigr) = \frac{x^{n+1} - y^{n+1}}{x}.
Portanto,
\sum_{k=0}^{n}x^{\,n-k}y^{\,k} = \frac{\tfrac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x}}{\tfrac{x-y}{x}} = \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}.

Passo 4

Concluímos que a identidade pedida está demonstrada.

Resposta

x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+y^{n} = \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}.

Exercícios relacionados