Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
  1. Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
  2. Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
    Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
    e) (0,1875)_{10}(para ser entregue)

Passo 1

O enunciado nos dá o número (0,1875)_{10} (está em base decimal) e pede que o convertamos para a notação binária. Informação relevante: o número é fracionário (não tem parte inteira além de zero). Objetivo: encontrar a representação em base 2, isto é um número da forma (0,b_1 b_2 b_3\ldots)_2.

Passo 2

Método que usaremos (explicação didática e passo a passo): para converter a parte fracionária de base decimal para binária usa-se o método das multiplicações por 2. Seja a parte fracionária inicial f_0. Repetimos:
f_{k-1}\times 2 = a_k + f_k,
onde a_k\in\{0,1\} é a parte inteira do produto (será o k-ésimo dígito binário após a vírgula) e f_k é a nova parte fracionária (o resto). Continuamos até que f_k=0 (conversão exata) ou até obtermos a precisão desejada. A representação binária da fração é
\sum_{k=1}^{n} a_k 2^{-k},
onde a_1 é o primeiro dígito depois da vírgula, a_2 o segundo, etc.

Passo 3

Aplicando ao nosso número: começamos com f_0 = 0,1875. Multiplicação 1:
0,1875 \times 2 = 0,375.
A parte inteira é a_1 = 0 e a nova fração é f_1 = 0,375.

Passo 4

Multiplicação 2:
0,375 \times 2 = 0,75.
A parte inteira é a_2 = 0 e a nova fração é f_2 = 0,75.

Passo 5

Multiplicação 3:
0,75 \times 2 = 1,5.
A parte inteira é a_3 = 1 e a nova fração é f_3 = 0,5.

Passo 6

Multiplicação 4:
0,5 \times 2 = 1,0.
A parte inteira é a_4 = 1 e a nova fração é f_4 = 0. Como a fração ficou 0, paramos — a conversão é exata com 4 dígitos.

Passo 7

Juntando os dígitos obtidos: a_1=0, a_2=0, a_3=1, a_4=1. Portanto a representação binária é (0,0011)_2.
Verificação (conversão de volta para decimal) para confirmar: (0,0011)_2 = 0\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} = 2^{-3}+2^{-4}.
Calculando:
2^{-3} = \frac{1}{8} = 0,125,\qquad 2^{-4} = \frac{1}{16} = 0,0625,
0,125 + 0,0625 = 0,1875,
que é exatamente o valor inicial. Conversão confirmada.

Resposta

(0,0011)_2

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