Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
s) (0,0010001 \cdots)_{2}
Passo 1
O enunciado nos dá o número representado em base binária: (0,0010001\cdots)_2. O símbolo \cdots indica que o bloco de bits mostrado se repete indefinidamente. Então o que temos é a fração binária periódica com bloco repetido 0010001.
O pedido é: converter esse número (que está em binário) para a notação decimal. Vou mostrar todos os passos e explicar direitinho como fazer essa conversão numérica e algébrica.
Passo 2
Entendimento do padrão e estratégia. Quando uma fração em base b tem um bloco de n dígitos que se repete imediatamente após a vírgula, por exemplo
x = 0.\overline{d_1d_2\ldots d_n}_b,
há um truque algébrico simples: multiplicar x por b^n desloca o ponto decimal (ou binário) exatamente um bloco, e ao subtrair x obtemos uma equação que elimina a parte periódica. Esse método é análogo ao usado em decimal para 0.\overline{142857}. Vou aplicar esse método no nosso caso com b=2 e bloco 0010001 de comprimento n=7.
Passo 3
Definir a incógnita e aplicar a multiplicação por 2^n. Seja
x = (0,\overline{0010001})_2.
Aqui o bloco repetido tem comprimento n=7. Multiplicando por 2^7 (que é 128) deslocamos a vírgula binária 7 posições:
2^7 x = 128x = (0010001,\overline{0010001})_2.
Observe que a parte fracionária da direita é exatamente x novamente (porque o bloco repete). Portanto podemos escrever uma equação simples subtraindo x de 128x.
Passo 4
Fazer a subtração e isolar x. Da igualdade do passo anterior segue
128x = (0010001)_2 + x.
Subtraindo x dos dois lados:
128x - x = (0010001)_2
127x = (0010001)_2.
Agora precisamos converter o inteiro binário (0010001)_2 para decimal para obter o numerador.
Passo 5
Converter o bloco binário para inteiro decimal. O número binário (0010001)_2 tem bits, do mais significativo ao menos significativo: 0,0,1,0,0,0,1. Isso corresponde a potências de 2:
Substituir na equação e resolver para x. Da equação do passo 4 temos
127x = 17.
Portanto
x = \dfrac{17}{127}.
Isto já é a representação exata em base decimal (uma fração racional). Não há simplificação possível porque 127 é primo e não divide 17.
Passo 7
Encontrar a representação decimal aproximada (opcional, mas útil). Para obter uma aproximação decimal, divide-se 17 por 127 por método da divisão longa. Seguindo as etapas da divisão obtém-se os dígitos decimais:
\dfrac{17}{127} \approx 0,133858267716535\ldots
(essa sequência de dígitos pode ser estendida tanto quanto for necessário; aqui dei os primeiros quinze dígitos decimais).