Um objeto caindo verticalmente pelo ar está sujeito à resistência viscosa, bem como à força da gravidade. Suponha que um objeto com massa
seja solto de uma altura
e que a altura do objeto após
segundos seja
onde
e
representa o coeficiente de resistência do ar em
. Suponha que
e
. Encontre, com precisão de
, o tempo que esse quarto de libra leva para atingir o solo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um objeto cai sob a ação da gravidade
e de uma resistência do ar proporcional à velocidade (coeficiente
). A altura dele em função do tempo é
com
ft,
lb,
lb·s/ft e
ft/s². Queremos achar, por método numérico, o tempo
tal que
. Isso é um problema de equação transcendental (vem exponencial), então vamos usar um método de aproximação (bisseção) para encontrar a raiz.
Passo 2
Primeiro substituímos os valores e simplificamos a expressão.
Calculemos
Calculemos
Então
Precisamos resolver
Passo 3
Vamos usar o método da bisseção, que é bem simples:
- Escolho um intervalo
onde . - Calculo o ponto médio
. - Vejo o sinal de
; se for igual ao de , ponho , senão . - Repito até
, garantindo precisão de 0,01 s.
Passo 4
- Testo extremos:
-
. -
.
Logo há raiz em.
-
- Itero a bisseção:
-
, (negativo) ⇒ novo intervalo . -
, (positivo) ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ . -
, ⇒ .
Neste ponto o comprimento do intervalo é, então paramos.
-
Resposta
O tempo que o objeto leva para atingir o solo, com precisão de 0,01 s, é aproximadamente