Um objeto caindo verticalmente pelo ar está sujeito à resistência viscosa, bem como à força da gravidade. Suponha que um objeto com massa m seja solto de uma altura s0 e que a altura do objeto após t segundos seja
s(t)=s0-m gk t+m^2 gk^2(1-e^-k t / m)
onde g=32,17 ft / s^2 e k representa o coeficiente de resistência do ar em lb-s / ft. Suponha que s0=300 ft, m=0,25 lb e k=0,1 lb-s / ft. Encontre, com precisão de 0,01 s, o tempo que esse quarto de libra leva para atingir o solo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um objeto cai sob a ação da gravidade s(t)=s0-mgk,t+m^2gk^2l(1-e^-,kmtr), e de uma resistência do ar proporcional à velocidade (coeficiente ). A altura dele em função do tempo é
com ft, lb, lb·s/ft e ft/s². Queremos achar, por método numérico, o tempo tal que . Isso é um problema de equação transcendental (vem exponencial), então vamos usar um método de aproximação (bisseção) para encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro substituímos os valores e simplificamos a expressão.
Calculemos
m,gk=0,25cdot32,170,1=80,425, m^2gk^2=0,25^2cdot32,170,1^2 =201,0625
Então
s(t)=300-80,425,t+201,0625l(1-e^-0.4,tr)
Precisamos resolver
f(t)equiv s(t)=0 Long<=ftrightarrow 300-80,425,t+201,0625l(1-e^-0.4,tr)=0

Passo 3

Vamos usar o método da bisseção, que é bem simples:
  1. Escolho um intervalo onde .
  2. Calculo o ponto médio .
  3. Vejo o sinal de ; se for igual ao de , ponho , senão .
  4. Repito até , garantindo precisão de 0,01 s.

Passo 4

  1. Testo extremos:
    • .
    • .
      Logo há raiz em .
  2. Itero a bisseção:
    • , (negativo) ⇒ novo intervalo .
    • , (positivo) ⇒ .
    • , .
    • , .
    • , .
    • , .
    • , .
    • , .
    • , .
    • , .
      Neste ponto o comprimento do intervalo é , então paramos.

Resposta

O tempo que o objeto leva para atingir o solo, com precisão de 0,01 s, é aproximadamente
boxed6,00 s

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