Para a seguinte equação, determine um intervalo [a, b] no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de 10^-5 e execute os cálculos.
x=5x^2+2

Passo 1

E aí! Temos a equação de ponto-fixo
x = 5x^2 + 2,
Conteúdo: método de ponto-fixo / contração.
O que precisamos:
1. Definir g(x)=5/x^2+2.
2. Achar um intervalo [a,b] onde g leva [a,b] em si e |g'(x)|<1.
3. Estimar quantas iterações pra chegar em erro menor que 10^-5.
4. Mostrar algumas iterações.

Passo 2

Primeiro, calculemos g'(x):
g'(x)=ddxl(5x^-2+2r)=-10,x^-3,
Para ter contração, queremos $|g’(x)|<1\iff\frac{10}{|x|^3}<1\iff|x|>\sqrt[3]{10}\approx2.1544,. $

Passo 3

Vamos escolher um intervalo fácil, por exemplo
[a,b]=[2.6,,2.8],
1. Verificar auto-mapeamento:
- g(2.6)=5/2.6^2+2approx0.7390+2=2.7390in[2.6,2.8]
- g(2.8)=5/2.8^2+2approx0.6378+2=2.6378in[2.6,2.8]
Logo g([2.6,2.8])subset[2.6,2.8].
2. Constante de contração $k=\max_{x\in[2.6,2.8]}|g’(x)|=|g’(2.6)|=\frac{10}{2.6^3}\approx0.569<1,. $

Passo 4

Erro teórico:
|xn-alpha|<=k^n1-k,|x1-x0|,,
onde escolhemos x0=2.6, então x1=g(2.6)=2.7390 e |x1-x0|=0.1390.
Queremos |xn-alpha|<10^-5, logo
$$kn\le\frac{(1-k),10{-5}}{|x_1-x_0|}
=\frac{(1-0.569),10{-5}}{0.1390}\approx3.1\times10{-5},. k^n<=(1-k),10^-5|x1-x0| =(1-0.569),10^-50.1390approx3.1times10^-5, n\ge\frac{\ln(3.1\times10^{-5})}{\ln(0.569)}\approx\frac{-10.38}{-0.5637}\approx18.4,. $$
Ou seja, aprox. 19 iterações.

Passo 5

Vamos ver as primeiras iterações com xn+1=g(xn):
  1. x0=2.6
  2. x1=2.7390
  3. x2=g(2.7390)approx2.6664
  4. x3=g(2.6664)approx2.7031
  5. x4approx2.6840
  6. x5approx2.6942
  7. x6approx2.6882
  8. x7approx2.6922
  9. x8approx2.6903
  10. x9approx2.6915

    Seguindo até n=19, achamos
x19approx2.69115,,
e aí a diferença entre x19 e x18 (ou o valor exato) já fica abaixo de 10^-5.

Resposta

Intervalo de convergência: [2.6,,2.8]; estimamos 19 iterações para obter erro menor que 10^-5,.

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