Para a seguinte equação, determine um intervalo
no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de
e execute os cálculos.
Passo 1
E aí! Temos a equação de ponto-fixo
Conteúdo: método de ponto-fixo / contração.
O que precisamos:
1. Definir
2. Achar um intervalo
3. Estimar quantas iterações pra chegar em erro menor que
4. Mostrar algumas iterações.
Passo 2
Primeiro, calculemos
:
Para ter contração, queremos $|g’(x)|<1\iff\frac{10}{|x|^3}<1\iff|x|>\sqrt[3]{10}\approx2.1544,. $
Passo 3
Vamos escolher um intervalo fácil, por exemplo
1. Verificar auto-mapeamento:
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Logo
2. Constante de contração $k=\max_{x\in[2.6,2.8]}|g’(x)|=|g’(2.6)|=\frac{10}{2.6^3}\approx0.569<1,. $
Passo 4
Erro teórico:
onde escolhemos
Queremos
$$kn\le\frac{(1-k),10{-5}}{|x_1-x_0|}
=\frac{(1-0.569),10{-5}}{0.1390}\approx3.1\times10{-5},.
n\ge\frac{\ln(3.1\times10^{-5})}{\ln(0.569)}\approx\frac{-10.38}{-0.5637}\approx18.4,. $$
Ou seja, aprox. 19 iterações.
Passo 5
Vamos ver as primeiras iterações com
:
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…
Seguindo até, achamos
e aí a diferença entre
Resposta
Intervalo de convergência:
; estimamos 19 iterações para obter erro menor que
.