Use um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de até
para
, para
em
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar a solução de
no intervalo
com precisão de
, usando um método de iteração de ponto-fixo.
Isso faz parte de Métodos Numéricos (equações não lineares).
Para resolver, a gente vai:
Isso faz parte de Métodos Numéricos (equações não lineares).
Para resolver, a gente vai:
- transformar
em definindo ; - escolher uma função de iteração
do tipo ponto-fixo; - iterar até a diferença entre dois passos ser menor que
.
Passo 2
Transformando em
:
A ideia do método de Newton (uma forma de ponto-fixo) é usar
Precisamos então derivar
:
Logo nosso iterador fica
Esse
tende a convergir rapidinho pra raiz de
.
Passo 3
Escolhemos um chute inicial
(o meio de [4,5]).
Vamos calcular o primeiro passo:
Vamos calcular o primeiro passo:
-
: - Como
, .
- Como
-
-
. -
, então .
-
-
- Finalmente
Passo 4
Vamos ver o segundo passo e checar a tolerância:
- Usando
, recálculo rápido dá e
. - Então
- A diferença
já é menor que ,
então paramos aqui.
Resposta
A solução aproximada de
em
, com erro abaixo de
, é