Use um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de até 10^-4 para x=tan x, para x em [4,5].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a solução de
x = tan x
no intervalo com precisão de , usando um método de iteração de ponto-fixo.
Isso faz parte de Métodos Numéricos (equações não lineares).
Para resolver, a gente vai:
  1. transformar em definindo ;
  2. escolher uma função de iteração do tipo ponto-fixo;
  3. iterar até a diferença entre dois passos ser menor que .

Passo 2

Transformando em f(x) = x - tan x :
xn+1 = g(xn), onde g(x) = x - f(x)f'(x)
A ideia do método de Newton (uma forma de ponto-fixo) é usar
f'(x) = 1 - sec^2 x
Precisamos então derivar xn+1 = xn - xn - tan xn1 - sec^2 xn :
Logo nosso iterador fica
Esse tende a convergir rapidinho pra raiz de .

Passo 3

Escolhemos um chute inicial x1 = 4.5 - -0.15-21.7 approx 4.5 - 0.0069 = 4.4931 (o meio de [4,5]).
Vamos calcular o primeiro passo:
  1. :
    • Como , .
  2. .
    • , então .
  3. Finalmente

Passo 4

Vamos ver o segundo passo e checar a tolerância:
  1. Usando x2 = 4.4931 - -9times10^-5-20.4 approx 4.4931 - 4.4times10^-6 = 4.4930956 , recálculo rápido dá e
    .
  2. Então
  1. A diferença já é menor que ,
    então paramos aqui.

Resposta

A solução aproximada de boxedx approx 4.4931 em , com erro abaixo de , é

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