Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
10
20
30
40
50
60
70
80
25
70
380
550
610
1220
830
1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
uma equação de força com base em transformação log
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10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
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25 | 70 | 380 | 550 | 610 | 1220 | 830 | 1450 |
uma equação de força com base em transformação log
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com a velocidade do vento
(em
) e a força medida
(em
):
O que nos pedem: usar regressão por mínimos quadrados com transformação log para relacionar os dados por uma equação de força. Em outras palavras, ajustar uma lei do tipo potência entre
e
usando transformação log (sem que eu te pergunte nada mais).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que fazemos log):
Muitas relações físicas de resistência/força com velocidade seguem uma lei de potência do tipo
Muitas relações físicas de resistência/força com velocidade seguem uma lei de potência do tipo
onde
e
são constantes a determinar. Se tomarmos log natural em ambos os lados obtemos uma relação linear entre os logs:
Definimos as variáveis auxiliares
então o problema de ajustar
vira um problema de regressão linear simples para ajustar
onde
e
. Depois de estimarmos
e
por mínimos quadrados, obtemos
e
. Vou usar log natural (
) — é o procedimento padrão e evita constantes adicionais.
Passo 3
Calcular os
e
para cada ponto (peguei os
e
diretamente da tabela do enunciado). Aqui estão os valores usados (arredondados com 6 casas decimais para as contas manuais):
Observação técnica: usei
natural para todas as transformações acima.
Passo 4
Preparar as somas necessárias para a fórmula dos mínimos quadrados (vou também calcular
e
para cada ponto e depois somar). Valores (arredondados para 6 casas decimais nas subtotais):
Cálculos ponto a ponto (já apresentados no passo anterior) levaram aos seguintes somatórios:
Expliquei como obter esses somatórios: para cada linha calculei
,
,
e
e somei as colunas. Esses cinco números (
) são suficientes para a regressão linear por mínimos quadrados.]
Passo 5
Fórmulas dos mínimos quadrados para a reta
:
Agora substituo os somatórios numéricos (faço as contas passo a passo):
Portanto
Agora o intercepto
:
Lembrete de interpretação:
e
.
Passo 6
Voltar à forma original da lei de potência:
.
Logo a equação ajustada (em forma de potência) é
Interpretação física curta: o expoente
ficou muito próximo de
, o que é coerente com a expectativa física de que a força de arrasto varie aproximadamente como o quadrado da velocidade (
), mas os dados têm ruído e desvios pontuais.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (como aplicar rapidamente):
- Se pedirem só o procedimento, escreva: transformar
em ; ajustar reta por mínimos quadrados; obter com as fórmulas; voltar com , . - Se precisar calcular rápido sem calculadora, verifique se os pontos sugerem
; nesse caso, você pode testar e encontrar por um ponto aproximado (mas cuidado: é aproximação). - No exame, mostre os somatórios (pelo menos
) e aplique as fórmulas — isso garante crédito mesmo que haja pequenas diferenças numéricas por arredondamento.