Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
\mathrm{v}, \mathrm{m} / \mathrm{s} 10 20 30 40 50 60 70 80
F, \mathrm{~N} 25 70 380 550 610 1220 830 1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
uma equação de força com base em transformação log

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com a velocidade do vento v (em \mathrm{m/s}) e a força medida F (em \mathrm{N}):
\begin{array}{c|cccccccc} v\\ (\mathrm{m/s}) & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80\\hline F\\ (\mathrm{N}) & 25 & 70 & 380 & 550 & 610 & 1220 & 830 & 1450 \end{array}
O que nos pedem: usar regressão por mínimos quadrados com transformação log para relacionar os dados por uma equação de força. Em outras palavras, ajustar uma lei do tipo potência entre F e v usando transformação log (sem que eu te pergunte nada mais).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e por que fazemos log):
Muitas relações físicas de resistência/força com velocidade seguem uma lei de potência do tipo
F = a\, v^{\,b},
onde a e b são constantes a determinar. Se tomarmos log natural em ambos os lados obtemos uma relação linear entre os logs:
\ln F = \ln a + b\,\ln v.
Definimos as variáveis auxiliares
x = \ln v,\qquad y = \ln F,
então o problema de ajustar F=a v^b vira um problema de regressão linear simples para ajustar
y = A + B x,
onde A=\ln a e B=b. Depois de estimarmos A e B por mínimos quadrados, obtemos a=\mathrm{e}^{A} e b=B. Vou usar log natural ( \ln) — é o procedimento padrão e evita constantes adicionais.

Passo 3

Calcular os x=\ln v e y=\ln F para cada ponto (peguei os v e F diretamente da tabela do enunciado). Aqui estão os valores usados (arredondados com 6 casas decimais para as contas manuais):
\begin{array}{c|cccccccc} v & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 \\hline F & 25 & 70 & 380 & 550 & 610 & 1220 & 830 & 1450\\hline x=\ln v & 2,302585 & 2,995732 & 3,401197 & 3,688879 & 3,912023 & 4,094345 & 4,248495 & 4,382027\\\ y=\ln F & 3,218876 & 4,248495 & 5,940171 & 6,309918 & 6,410243 & 7,107548 & 6,721627 & 7,279002 \end{array}
Observação técnica: usei \ln natural para todas as transformações acima.

Passo 4

Preparar as somas necessárias para a fórmula dos mínimos quadrados (vou também calcular x^2 e x y para cada ponto e depois somar). Valores (arredondados para 6 casas decimais nas subtotais):
Cálculos ponto a ponto (já apresentados no passo anterior) levaram aos seguintes somatórios:
\begin{aligned} n &= 8,\\[4pt] \sum x &= 29,025284,\\[4pt] \sum y &= 47,235880,\\[4pt] \sum x^2 &= 108,771617,\\[4pt] \sum xy &= 178,253456. \end{aligned}
Expliquei como obter esses somatórios: para cada linha calculei x, y, x^2 e xy e somei as colunas. Esses cinco números ( n,\sum x,\sum y,\sum x^2,\sum xy) são suficientes para a regressão linear por mínimos quadrados.]

Passo 5

Fórmulas dos mínimos quadrados para a reta y = A + B x:
B = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}, \qquad A = \frac{\sum y - B\sum x}{n}.
Agora substituo os somatórios numéricos (faço as contas passo a passo):
n\sum xy = 8\cdot 178,253456 = 1\,426,027648,
(\sum x)(\sum y) = 29,025284\cdot 47,235880 \approx 1\,371,034758,
\text{numerador de }B = 1\,426,027648 - 1\,371,034758 = 54,992890.
n\sum x^2 = 8\cdot 108,771617 = 870,172936,
(\sum x)^2 = (29,025284)^2 \approx 842,467090,
\text{denominador de }B = 870,172936 - 842,467090 = 27,705846.
Portanto
B = \frac{54,992890}{27,705846} \approx 1,9857.
Agora o intercepto A:
B\sum x \approx 1,9857\cdot 29,025284 \approx 57,635506,
\sum y - B\sum x \approx 47,235880 - 57,635506 = -10,399626,
A = \frac{-10,399626}{8} \approx -1,299953.
Lembrete de interpretação: A=\ln a e B=b.

Passo 6

Voltar à forma original da lei de potência: a=\mathrm{e}^{A}.
a = \mathrm{e}^{-1,299953} \approx 0,2726, \qquad b = B \approx 1,9857.
Logo a equação ajustada (em forma de potência) é
F = a\, v^{\,b} \approx 0,2726\; v^{1,9857}.
Interpretação física curta: o expoente b ficou muito próximo de 2, o que é coerente com a expectativa física de que a força de arrasto varie aproximadamente como o quadrado da velocidade ( F\propto v^2), mas os dados têm ruído e desvios pontuais.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (como aplicar rapidamente):
  • Se pedirem só o procedimento, escreva: transformar v,F em x=\ln v,y=\ln F; ajustar reta por mínimos quadrados; obter A,B com as fórmulas; voltar com a=\mathrm{e}^A, b=B.
  • Se precisar calcular rápido sem calculadora, verifique se os pontos sugerem b\approx 2; nesse caso, você pode testar F\approx k v^2 e encontrar k por um ponto aproximado (mas cuidado: é aproximação).
  • No exame, mostre os somatórios (pelo menos \sum x,\sum y,\sum x^2,\sum xy) e aplique as fórmulas — isso garante crédito mesmo que haja pequenas diferenças numéricas por arredondamento.

Resposta

F = 0,2726\; v^{1,9857}

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