Uma viga de 11 m está sujeita a uma carga e a força de cisalhamento segue a equação
V(x)=5+0.25 x^{2}
em que V é a força de cisalhamento e x é distância em comprimento ao longo da viga. Sabe-se que V=d M / d x, e M é o momento de flexão. A integração resulta na relação
M=M_{o}+\int_{0}^{x} V d x
Se M_{0}=0 e x=11, calcule M usando o método dos trapézios repetidos com incrementos de 1 m .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A força de cisalhamento ao longo da viga é dada por V(x)=5+0,25\,x^{2},
onde \,x está em metros e V em unidades de força.
  • Sabe-se que \,V=\dfrac{dM}{dx} e que M=M_{0}+\int_{0}^{x}V\,dx.
  • Foi dado que \,M_{0}=0 e pede-se M para \,x=11 m.
  • Instrução específica: usar o método dos trapézios repetidos com incrementos de 1 m (ou seja, passo h=1 sobre o intervalo [0,11]).
Resumo do que precisamos calcular: aproximar \displaystyle M(11)=\int_{0}^{11} V(x)\,dx usando o método dos trapézios repetidos com h=1.

Passo 2

Explicando didaticamente o método dos trapézios repetidos (fórmula que vamos aplicar):
  • Dividimos o intervalo [0,11] em n subintervalos iguais de largura h. Aqui h=1 e n=\dfrac{11-0}{1}=11.
  • Se chamarmos x_{0}=0,\;x_{1}=1,\;\dots,\;x_{11}=11 e f(x)=V(x), a fórmula do trapézio repetido é
\int_{0}^{11} f(x)\,dx \approx h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{11})}{2}+\sum_{i=1}^{10} f(x_{i})\right).
  • Intuição simples: entre dois pontos consecutivos aproximamos a curva por uma reta (um trapézio) e somamos as áreas desses trapézios. Por isso as extremidades recebem peso 1/2 e os pontos internos peso 1.

Passo 3

Preparar os pontos e calcular V(x_{i}) em cada nó (vou mostrar cada cálculo para você poder reproduzir na prova sem erro):
A função é \displaystyle V(x)=5+0,25x^{2}. Calculamos para x=0,1,2,\dots,11:
\begin{aligned} V(0)&=5+0,25\cdot 0^{2}=5,\\[4pt] V(1)&=5+0,25\cdot 1^{2}=5,25,\\[4pt] V(2)&=5+0,25\cdot 2^{2}=5+0,25\cdot4=6,\\[4pt] V(3)&=5+0,25\cdot9=7,25,\\[4pt] V(4)&=5+0,25\cdot16=9,\\[4pt] V(5)&=5+0,25\cdot25=11,25,\\[4pt] V(6)&=5+0,25\cdot36=14,\\[4pt] V(7)&=5+0,25\cdot49=17,25,\\[4pt] V(8)&=5+0,25\cdot64=21,\\[4pt] V(9)&=5+0,25\cdot81=25,25,\\[4pt] V(10)&=5+0,25\cdot100=30,\\[4pt] V(11)&=5+0,25\cdot121=35,25. \end{aligned}
(Se na prova esquecer um, calcule 0,25x^{2} primeiro e some 5 — é rápido.)]

Passo 4

Aplicar a fórmula do trapézio com h=1.
Primeiro somamos os valores internos V(x_{1}) até V(x_{10}):
\sum_{i=1}^{10} V(x_{i})= 5,25+6+7,25+9+11,25+14+17,25+21+25,25+30.
Vamos somar passo a passo (para não errar na prova):
\begin{aligned} 5,25+6&=11,25,\\\\ 11,25+7,25&=18,5,\\\\ 18,5+9&=27,5,\\\\ 27,5+11,25&=38,75,\\\\ 38,75+14&=52,75,\\\\ 52,75+17,25&=70,\\\\ 70+21&=91,\\\\ 91+25,25&=116,25,\\\\ 116,25+30&=146,25. \end{aligned}
Logo \displaystyle \sum_{i=1}^{10} V(x_{i})=146,25.
Agora calculemos \dfrac{V(x_{0})+V(x_{11})}{2}:
\frac{V(0)+V(11)}{2}=\frac{5+35,25}{2}=\frac{40,25}{2}=20,125.

Passo 5

Agora aplicamos a expressão completa:
\int_{0}^{11} V(x)\,dx \approx h\left(\frac{V(0)+V(11)}{2}+\sum_{i=1}^{10}V(x_{i})\right).
Com h=1:
\int_{0}^{11} V(x)\,dx \approx 1\big(20,125+146,25\big)=166,375.
Como M_{0}=0, temos \displaystyle M(11)=M_{0}+\int_{0}^{11}V(x)\,dx\approx166,375.

Passo 6

Pequeno check (aula rápida para fixar): a integral exata pode ser calculada analiticamente porque V é polinomial:
\int_{0}^{11}\big(5+0,25x^{2}\big)\,dx=\left[5x+\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{11}=55+\frac{1331}{12}=\frac{1991}{12}\approx165,916\overline{6}.
Então o resultado pelo trapézio repetido 166,375 está bem próximo; o erro absoluto é
|166,375-165,916\overline{6}|=0,458\overline{3}.
Dica prática para a prova: com h=1 organize uma tabela rápida de x, x^{2}, 0,25x^{2} e V(x); some os internos e aplique a fórmula — rápido e seguro.

Resposta

M(11)=166,375

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