QUESTÃO 10 - Erro de Truncamento

Suponha que pontos (-1, 4.8), (0, 5), (0.8, 5.1), (1, 5.4) e (1.8, 13.6) vieram da função
f(x)=0.5 x^{5}-0.2 x^{3}+0.1 x^{2}+5
Qual seria a cota máxima do erro ao aproximar o valor de f(1.5) usando polinômio interpolador de Newton de grau \mathrm{n}=4, usando a fórmula do erro de truncamento \mathrm{E}_{\mathrm{T}}(\mathrm{x}) ?
DICA: Não precisa achar o polinômio, basta usar a fórmula \mathrm{E}_{\mathrm{T}}(\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado dá a função e os pontos amostrados, e pede a cota máxima do erro ao aproximar f(1,5) usando o polinômio interpolador de grau n=4 (ou seja, usando os 5 pontos). Dados fornecidos:
f(x)=0{,}5x^{5}-0{,}2x^{3}+0{,}1x^{2}+5
e os pontos (-1,4{,}8), (0,5), (0{,}8,5{,}1), (1,5{,}4) e (1{,}8,13{,}6).
O que nos pedem: qual a cota máxima do erro de truncamento \mathrm{E}_{T}(x) ao avaliar em x=1{,}5 com o polinômio interpolador de grau 4. A dica diz que não é preciso achar o polinômio: só usar a fórmula do erro.

Passo 2

Apresento a fórmula do erro (resto) da interpolação polinomial de grau n em um ponto x. Se usamos n+1 pontos (x_0,\dots,x_n), então existe \xi no intervalo que contém os nós tal que
E_{T}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n).
Explicando cada parte:
  • f^{(n+1)}(\xi) é a derivada de ordem n+1 da função avaliada num ponto desconhecido \xi entre os nós (pode depender de x).
  • (n+1)! é o fatorial de n+1.
  • (x-x_0)\cdots(x-x_n) é o produto das diferenças entre o ponto onde queremos o valor e cada nó usado na interpolação.
    Para obter uma cota (um limite superior) do erro absoluto, usamos
|E_T(x)| \le \frac{\max_{\zeta\in I}|f^{(n+1)}(\zeta)|}{(n+1)!}\,\big| (x-x_0)\cdots(x-x_n)\big|,
onde I é um intervalo que contém todos os nós e o ponto x. Então nosso trabalho: calcular f^{(5)} (pois n=4\Rightarrow n+1=5), achar seu máximo em I, e calcular o produto (x-x_0)\cdots.

Passo 3

Escolho o intervalo I que contém os nós e o ponto de interesse. Os nós vão de -1 até 1{,}8, e queremos x=1{,}5, então tomo
I=[-1,\,1{,}8].
Agora calculo as derivadas até a quinta, mostrando passo a passo (regras: derivada de x^k é k x^{k-1}):
f(x)=0{,}5x^{5}-0{,}2x^{3}+0{,}1x^{2}+5.
Primeira derivada:
f'(x)=0{,}5\cdot 5 x^{4}-0{,}2\cdot 3 x^{2}+0{,}1\cdot 2 x
\Rightarrow f'(x)=2{,}5x^{4}-0{,}6x^{2}+0{,}2x.
Segunda derivada:
f''(x)=2{,}5\cdot 4 x^{3}-0{,}6\cdot 2 x +0{,}2
\Rightarrow f''(x)=10x^{3}-1{,}2x+0{,}2.
Terceira derivada:
f^{(3)}(x)=10\cdot 3 x^{2}-1{,}2 =30x^{2}-1{,}2.
Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=30\cdot 2 x =60x.
Quinta derivada:
f^{(5)}(x)=60.
Observação importante: f^{(5)}(x) é constante igual a 60 para todo x. Isso simplifica muito a cota, porque o máximo absoluto de f^{(5)} em qualquer intervalo é simplesmente 60.

Passo 4

Calculo o fator \dfrac{\max_{\zeta\in I}|f^{(5)}(\zeta)|}{5!}. Como f^{(5)}(\zeta)=60 para todo \zeta, temos
\max_{\zeta\in I}|f^{(5)}(\zeta)|=60.
E 5! = 120. Logo
\frac{\max_{\zeta\in I}|f^{(5)}(\zeta)|}{5!}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora calculo o produto (x-x_0)\cdots(x-x_4) para x=1{,}5 e nós x_0=-1, x_1=0, x_2=0{,}8, x_3=1, x_4=1{,}8. Vou fazer em frações para ficar exato e sem calculadora:
1{,}5-(-1)=\frac{3}{2}+\!1=\frac{5}{2}, \quad 1{,}5-0=\frac{3}{2}, \quad 1{,}5-0{,}8=0{,}7=\frac{7}{10},
1{,}5-1=\frac{1}{2}, \quad 1{,}5-1{,}8=-0{,}3=-\frac{3}{10}.
Multiplicando todos:
(1{,}5+1)(1{,}5)(1{,}5-0{,}8)(1{,}5-1)(1{,}5-1{,}8) =\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{10}\right).
Multiplico numeradores e denominadores:
\text{num} = 5\cdot 3\cdot 7\cdot 1\cdot(-3) = -315, \quad \text{den} = 2\cdot 2\cdot 10\cdot 2\cdot 10 = 800.
Logo o produto é
(1{,}5-x_0)\cdots(1{,}5-x_4) = -\frac{315}{800} = -\frac{63}{160} = -0{,}39375.

Passo 6

Agora aplico a cota do erro com os resultados dos passos anteriores:
|E_T(1{,}5)| \le \frac{1}{2}\,\bigg|-\frac{63}{160}\bigg| = \frac{1}{2}\cdot\frac{63}{160}=\frac{63}{320}.
Convertendo para decimal (usando vírgula conforme solicitado):
\frac{63}{320}=0{,}196875.
Portanto a cota máxima do erro absoluto ao usar o polinômio interpolador de grau 4 para aproximar f(1{,}5) é 0{,}196875.

Resposta

|E_T(1,5)| \le 0,196875

Exercícios relacionados