QUESTÃO 11 - Interpolação Bilinear

Use a interpolação bilinear (ANEXO A) para aproximar a cota de calorias para uma mulher com 62 quilos e 52 anos usando a tabela abaixo
PESO (kg) COTA DE CALORIAS (em kcal)
Idade (em anos) Homens Idade (em anos) Mulheres
25 45 65 25 45 65
40 - - - 1.750 1.650 1.400
50 2.500 2.350 1.950 2.050 1.950 1.600
60 2.850 2.700 2.250 2.350 2.200 1.850
70 3.200 3.000 2.550 2.600 2.450 2.050
80 3.550 3.350 2.800 - - -
Para interpolação bilinear, vamos precisar de dois valores se x e dois de y. Os valores mais próximos de 62 kg e 52 anos estão na tabela abaixo
\mathrm{y}_{0} \mathrm{y}_{1}
45 65
\mathrm{x}_{0} 60 2.200 1.850
\mathrm{x}_{1} 70 2.450 2.050

Passo 1

O que o problema pede: aproximar, por interpolação bilinear, a cota de calorias para uma mulher com 62 kg e 52 anos, usando a tabela fornecida.
Informações relevantes e pontos escolhidos (peguei diretamente os valores na tabela enviada):
x_0 = 60,\quad x_1 = 70,\quad y_0 = 45,\quad y_1 = 65.
Os valores de cota (retirados da tabela) nestes pontos são:
f(x_0,y_0)=f(60,45)=2.200\quad(\text{peguei da tabela, isto é }2200\\ \text{kcal}),é
f(x_0,y_1)=f(60,65)=1.850\quad(\text{peguei da tabela, isto é }1850\\ \text{kcal}),é
f(x_1,y_0)=f(70,45)=2.450\quad(\text{peguei da tabela, isto é }2450\\ \text{kcal}),é
f(x_1,y_1)=f(70,65)=2.050\quad(\text{peguei da tabela, isto é }2050\\ \text{kcal}).é
Aqui interpretei os números da tabela como valores em kcal (por exemplo 2.200 significa 2200 kcal), para trabalhar com unidades claras.

Passo 2

Ideia da interpolação bilinear (explicação didática):
Queremos estimar f(x,y) em um ponto interior de um retângulo definido por (x_0,y_0),(x_1,y_1). O método faz duas interpolações lineares numa direção (por exemplo em x para cada uma das duas linhas de y) e depois interpola linearmente no outro sentido ( y).
Definimos os parâmetros de posição relativos:
t=\frac{x-x_0}{x_1-x_0},\qquad u=\frac{y-y_0}{y_1-y_0},
onde t mede a posição de x entre x_0 e x_1 e u mede a posição de y entre y_0 e y_1.
A fórmula da interpolação bilinear (que combina os quatro cantos) é
f(x,y)=(1-t)(1-u)f_{00}+t(1-u)f_{10}+(1-t)u f_{01}+t u f_{11},
onde definimos f_{00}=f(x_0,y_0), f_{10}=f(x_1,y_0), f_{01}=f(x_0,y_1), f_{11}=f(x_1,y_1).
Cada termo é um peso (produto de frações) multiplicado pelo valor do canto correspondente.

Passo 3

Calcular t e u para o nosso ponto (x,y)=(62,52):
t=\frac{62-60}{70-60}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0,2,
u=\frac{52-45}{65-45}=\frac{7}{20}=0,35.
(Usei frações para ver exato e depois converti para decimal.)

Passo 4

Calcular os pesos que aparecem na fórmula e checar que somam 1:
(1-t)(1-u)=(1-0,2)(1-0,35)=0,8\cdot 0,65=0,52,
t(1-u)=0,2\cdot 0,65=0,13,
(1-t)u=0,8\cdot 0,35=0,28,
t u=0,2\cdot 0,35=0,07.
Verificação: 0,52+0,13+0,28+0,07=1,00. Ótimo — os pesos são consistentes.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com os valores em kcal (usei 2200,1850,2450,2050 como explicado no Passo 1):
f(62,52)=0,52\cdot 2200 + 0,13\cdot 2450 + 0,28\cdot 1850 + 0,07\cdot 2050.
Calcule cada produto (vou mostrar passo a passo):
0,52\cdot 2200 = 1144,
0,13\cdot 2450 = 318{,}5,
0,28\cdot 1850 = 518,
0,07\cdot 2050 = 143{,}5.

Passo 6

Somando os termos:
1144 + 318{,}5 + 518 + 143{,}5 = 2124.
Portanto a estimativa por interpolação bilinear é 2124 kcal. É bom lembrar que esta é uma aproximação linear no retângulo escolhido; arredondamentos e a escolha dos pontos vizinhos influenciam um pouco o resultado, mas este procedimento é exatamente o que se pede na prova.

Resposta

2124\\ \text{kcal}

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