(OBM) Os números 2^2007 e 5^2007 são escritos um ao lado do outro, formando um novo número. Qual é o número de dígitos deste novo número?

Passo 1

Beleza, o problema diz que escrevemos lado a lado o número e o número , formando um número enorme. A pergunta é: “quantos dígitos tem esse novo número?”.
Conteúdo: lógica de dígitos de potências e uso de logaritmo decimal.
O que vamos precisar:
  • Entender que a quantidade de dígitos de um inteiro é .
  • Calcular e .
  • Somar as quantidades de dígitos.

Passo 2

Teoria básica: se nº de dígitos de N = lfloor log10(N)rfloor + 1 é um inteiro positivo, então
ºí
Isso vem do fato de que, por exemplo, log de um número entre 100 e 999 fica entre 2 e 3 (e “corta” a parte decimal).

Passo 3

Vamos achar os dígitos de 2007cdot 0,30103 approx 604,16721 .
  1. Primeiro, dígitos de 2^2007 = lfloor 604,16721rfloor + 1 = 604 + 1 = 605 .
  2. Sabemos que .
  3. Então
  1. Logo,
í

Passo 4

Agora, para 2007cdot 0,69897 approx 1402,83279 :
  1. dígitos de 5^2007 = lfloor 1402,83279rfloor + 1 = 1402 + 1 = 1403 .
  2. E .
  3. Então
  1. Logo,
í

Passo 5

Como o enunciado junta os dois números um após o outro, o total de dígitos é simplesmente
605 ;+; 1403 ;=; 2008

Resposta

O número formado por seguido de tem 2008 dígitos.

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