O algarismo das unidades de 3^1001 7^1002 13^1003 é?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o algarismo das unidades de
3^1001cdot7^1002cdot13^1003
Isso cai no assunto de “resto de divisão por 10” (ou seja, só o dígito das unidades) e vamos usar ciclos de potência pra isso. Nada de calculadora pra números gigantes: a gente vai usar a ideia de que, pra saber o último dígito de , basta estudar o padrão de .

Passo 2

Primeiro, note que só precisa do último dígito de cada fator. Então:
Além disso, como , a parte é igual a .

Passo 3

Vamos achar o ciclo de 1001div4=250 com resto 1. Calculando alguns:
  • 1003mod4=3,
  • 3^1003bmod10=7

  • E depois disso volta: , etc. O ciclo é (3,9,7,1) de comprimento 4.
    Para , basta ver :
Logo corresponde ao primeiro elemento do ciclo, que é 3.
O mesmo vale pra :
então o terceiro elemento do ciclo é 7, ou seja

Passo 4

Agora o ciclo de 1002mod4=2,. Testando:
  • 7^1002bmod10=9

  • Depois repete (7,9,3,1), ciclo de tamanho 4.
    Para , calcule o resto:
então pegamos o segundo elemento do ciclo, que é 9. Assim

Passo 5

Agora multiplicamos os dígitos das unidades que achamos:
-
-
-
Multiplicando: . O dígito das unidades de 189 é 9.

Resposta

9

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