Observando o crescimento de um certo tipo de animal ao longo de 9 semanas, foi obtida a seguinte tabela, relacionando o tempo ao peso médio(em kg ):
tk 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yk 0,320 0,3238 0,5126 0,4602 0,7897 0,6906 0,9981 1,07 1,10
Obtenha os valores de a, b que melhor aproxime o conjunto de pontos pela função dada, considerando c=0,2385.
y=e^(a-b e^-c t)=exp (a-b cdot exp (-c t)), b, c>0 ; a in R

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos 9 observações de tempo y = expl(a - b,e^-c,tr), e peso médio , e queremos encaixar esses pontos na curva
sabendo que .
Matematicamente, vamos precisar de regressão de mínimos quadrados não-linear, mas a gente vai facilitar linera­rizando o modelo com logaritmo e aplicando regressão linear.

Passo 2

Teoria que vamos usar:
  1. Tomamos log natural de ambos os lados:
ln y = a - b,e^-c t
  1. Definimos
X = e^-c t, Z = ln y,
então o modelo vira
Z = A + B,X,
onde B = nsum XZ - sum Xsum Znsum X^2 - (sum X)^2, A = bar Z - B,bar X, e .
3) Usamos a fórmula de mínimos quadrados para estimar e :
com .
4) No fim recuperamos e .

Passo 3

Primeiro, para cada observação Xk = e^-0,2385,tk, Zk = ln(yk) e calculamos
Numericamente (aprox.):
t=1: ,
t=2: ,
t=3: ,
t=4: ,
t=5: ,
t=6: ,
t=7: ,
t=8: ,
t=9: ,

Passo 4

Agora calculamos os somatórios necessários:
sum Xk approx 3,2785, sum Zk approx -4,1533,
sum Xk^2 approx 1,6136, sum XkZk approx -2,3600
Aplicando
B = 9,( -2,3600 ) - (3,2785)(-4,1533)9,(1,6136) - (3,2785)^2 approx -2,021,
A = bar Z - B,bar X = -4,15339 - (-2,021),3,27859 approx 0,275

Passo 5

Lembra que a approx 0,275, b approx -B approx 2,021 e . Então:

Resposta

.

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