Obtenção do sistema linear - Monte diretamente o sistema linear associado ao problema, na forma
A x=b
a partir das relações obtidas para os pontos internos da barra. Identifique claramente a matriz de coeficientes A, o vetor de incógnitas x e o vetor do lado direito b.
Em seguida, analise se o problema está bem posto, discutindo:
existência de solução;
unicidade da solução;
comportamento da solução frente a pequenas variações nos dados. Sugestão: utilize o número de condição para analisar a sensibilidade do sistema.
Passo 1
O enunciado pede que eu monte diretamente o sistema linear na forma
A x = b
a partir das relações nos pontos internos de uma barra. Vou assumir o problema padrão de contorno 1D que aparece com frequência em provas e exercícios (caso o teu enunciado seja outro, a estrutura será análoga):
Equação diferencial (Poisson/estado estacionário de calor):
- u''(x) = f(x),\qquad 0<x<L.
Condições de contorno de Dirichlet (bordas fixas):
u(0)=\alpha,\qquad u(L)=\beta.
Informações e notação que vou usar (peguei estas escolhas por serem as mais comuns):
Divido o intervalo [0,L] em N+1 subintervalos iguais, com N pontos internos. O espaçamento é
h=\frac{L}{N+1}.
Os pontos da malha são x_i = i h, para i=0,1,\dots,N+1. Os pontos internos são i=1,\dots,N.
Aproximo u(x_i) por u_i. As incógnitas do sistema serão os valores nos pontos internos:
Multiplicando por h^2 e reorganizando obtemos a equação discreta para cada i=1,\dots,N:
- u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1} = h^2 f_i,
onde defini f_i := f(x_i).
Agora uso as condições de contorno: u_0=\alpha e u_{N+1}=\beta. Para i=1 aparece u_0=\alpha conhecido; para i=N aparece u_{N+1}=\beta conhecido. Isso gera termos constantes no lado direito.
Passo 3
Montagem explícita das equações internas (mostrando como aparecem os termos de contorno):
Observação pedagógica rápida: a presença de h^2\] multiplicando \(f_i significa que cargas distribuidas internas são “amortecidas” pelo fator h^2 na formação do b; já os termos de contorno \alpha,\beta entram sem esse fator (apenas nas entradas extremas de b).]
Passo 5
Existência e unicidade da solução (por que o sistema é bem posto?).
Propriedade da matriz A: A é simétrica e estritamente diagonal dominante por linhas? Não estritamente diagonal dominante (pois 2=|{-1}|+|{-1}| para linhas centrais), mas é simétrica definida positiva. Uma demonstração clássica: os autovalores de A são conhecidos explicitamente (matriz Toeplitz tri-diagonal):
Cada \lambda_j>0 (porque 0<\frac{j\pi}{N+1}<\pi e \cos é estritamente menor que 1), logo todos os autovalores são positivos e A é definida positiva. Consequências:
Como A é invertível, para qualquer b existe exatamente uma solução x=A^{-1}b. Ou seja: existência e unicidade garantidas.
Intuição rápida (sem usar autovalores): z^\top A z=\sum_{i=0}^{N}(z_i-z_{i+1})^2 com z_0=z_{N+1}=0 (essa identidade mostra positividade) — quem quiser pode checar essa soma expandindo os quadrados; por ser soma de quadrados, é zero só quando todos os termos são zero, logo z=0.
Passo 6
Comportamento frente a pequenas variações nos dados — número de condição e sensibilidade.
Logo, quanto maior \mathrm{cond}_2(A), mais as pequenas perturbações em b são amplificadas nas soluções.
Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
Se N=9 (10 pontos internos?), então \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(10)^2\approx 40{,}5. Uma perturbação relativa de 10^{-6} em b pode gerar até cerca de 4\times10^{-5} de erro relativo em x.
Se N=99, \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(100)^2\approx 4{,}05\times10^{3}. Mesmo pequenos ruídos em b podem causar erros percebíveis em x.
Observação sobre origem das perturbações em b:
Erros ou ruídos em f aparecem em b multiplicados por h^2 (porque b_i tem h^2 f_i). Como h\to0 (N grande), h^2 é pequeno, então ruídos em f são atenuados antes de entrarem no b. Isso ajuda a reduzir a influência de ruído de f para grandes N.
Em contraste, erros nas condições de contorno \alpha,\beta entram diretamente nas primeiras e últimas entradas de b sem o fator h^2. Assim, um pequeno erro absoluto em \alpha ou \beta pode ter efeito relativamente maior na solução do que um erro do mesmo tamanho em f. Isso é importante ao medir/exigir precisão nas condições de contorno.
Conclusão sobre sensibilidade: o problema é bem posto (existe e é único), e a solução depende continuamente dos dados, mas a sensibilidade cresce com N^2. Para malhas muito finas é preciso cuidado numérico (uso de aritmética estável, métodos de solução apropriados e atenção aos erros de entrada).
Passo 7
Resumo prático — o que levar para a prova e como justificar rapidamente:
Mostre a discretização e escreva a equação interior:
substituindo u_0=\alpha e u_{N+1}=\beta nas equações de i=1 e i=N.
Escreva A, x, b como no Passo 4 (matriz tri-diagonal com 2 na diagonal e -1 nas sub/super-diagonais).
Para a análise: cite que A é simétrica definida positiva (autovalores positivos com fórmula explícita), portanto solução única existe para qualquer b. Use a expressão dos autovalores para obter \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(N+1)^2 e argumente que a sensibilidade cresce como N^2. Destaque a diferença entre ruído em f (amortecido por h^2) e ruído nas condições de contorno (não amortecido).
Portanto, pequenas perturbações em b podem ser amplificadas em até cerca de \mathrm{cond}_2(A) vezes na solução; ruídos em f são atenuados por h^2 antes de formar b, enquanto erros nas condições de contorno \alpha,\beta entram diretamente em b (podendo causar impacto maior).]