Obtenção do sistema linear - Monte diretamente o sistema linear associado ao problema, na forma
A x=b
a partir das relações obtidas para os pontos internos da barra. Identifique claramente a matriz de coeficientes A, o vetor de incógnitas x e o vetor do lado direito b.
Em seguida, analise se o problema está bem posto, discutindo:
  • existência de solução;
  • unicidade da solução;
  • comportamento da solução frente a pequenas variações nos dados. Sugestão: utilize o número de condição para analisar a sensibilidade do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que eu monte diretamente o sistema linear na forma
A x = b
a partir das relações nos pontos internos de uma barra. Vou assumir o problema padrão de contorno 1D que aparece com frequência em provas e exercícios (caso o teu enunciado seja outro, a estrutura será análoga):
  • Equação diferencial (Poisson/estado estacionário de calor):
- u''(x) = f(x),\qquad 0<x<L.
  • Condições de contorno de Dirichlet (bordas fixas):
u(0)=\alpha,\qquad u(L)=\beta.
Informações e notação que vou usar (peguei estas escolhas por serem as mais comuns):
  • Divido o intervalo [0,L] em N+1 subintervalos iguais, com N pontos internos. O espaçamento é
h=\frac{L}{N+1}.
  • Os pontos da malha são x_i = i h, para i=0,1,\dots,N+1. Os pontos internos são i=1,\dots,N.
  • Aproximo u(x_i) por u_i. As incógnitas do sistema serão os valores nos pontos internos:
x=\begin{pmatrix}u_1\\\ u_2\\\ \vdots\\\ u_N\end{pmatrix}.
O que preciso entregar:
  1. A matriz de coeficientes A, o vetor incógnita x e o vetor lado direito b explicitados;
  2. Análise de existência, unicidade e sensibilidade (pequenas variações nos dados), usando o número de condição.

Passo 2

Discretização por diferenças finitas (aula rápida e direta — zero mistério).
  • Aproximação da derivada segunda no interior (diferença central):
u''(x_i)\approx \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}.
Aqui u_{i-1},u_i,u_{i+1} são as aproximações nos nós x_{i-1},x_i,x_{i+1}. Essa fórmula tem erro de ordem O(h^2): quanto menor h, mais precisa.
  • A equação contínua é -u''(x)=f(x). Substituindo a aproximação:
- \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} \approx f(x_i).
Multiplicando por h^2 e reorganizando obtemos a equação discreta para cada i=1,\dots,N:
- u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1} = h^2 f_i,
onde defini f_i := f(x_i).
  • Agora uso as condições de contorno: u_0=\alpha e u_{N+1}=\beta. Para i=1 aparece u_0=\alpha conhecido; para i=N aparece u_{N+1}=\beta conhecido. Isso gera termos constantes no lado direito.

Passo 3

Montagem explícita das equações internas (mostrando como aparecem os termos de contorno):
  • Para i=1:
- u_0 + 2u_1 - u_2 = h^2 f_1 \quad\Rightarrow\quad 2u_1 - u_2 = h^2 f_1 + \alpha.
  • Para 1<i<N (i interior que não envolve contorno):
- u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1} = h^2 f_i \quad\Rightarrow\quad - u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1} = h^2 f_i.
  • Para i=N:
- u_{N-1} + 2u_N - u_{N+1} = h^2 f_N \quad\Rightarrow\quad - u_{N-1} + 2u_N = h^2 f_N + \beta.
Essas N equações podem ser escritas na forma matricial A x = b. Vou explicitar cada termo.

Passo 4

Identificação da matriz [A), do vetor incógnitas x e do vetor b.
  • Vetor incógnitas:
x=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt] u_2\\[4pt] \vdots\\[4pt] u_N\end{pmatrix}.
  • Matriz de coeficientes A (tri-diagonal, simétrica):
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\[4pt] \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & \cdots & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\\ \in\mathbb{R}^{N\times N}.
Em termos de componentes:
A_{ii}=2\quad (i=1,\dots,N),\qquad A_{i,i+1}=A_{i+1,i}=-1\quad (i=1,\dots,N-1),
e os outros elementos são zero.
  • Vetor do lado direito b:
b=\begin{pmatrix} h^2 f_1 + \alpha\\[4pt] h^2 f_2\\[4pt] \vdots\\[4pt] h^2 f_{N-1}\\[4pt] h^2 f_N + \beta \end{pmatrix}.
Em forma compacta, para i=1,\dots,N:
b_i = h^2 f_i + \begin{cases} \alpha, & i=1,\\[4pt] 0, & 1<i<N,\\[4pt] \beta, & i=N. \end{cases}
Observação pedagógica rápida: a presença de h^2\] multiplicando \(f_i significa que cargas distribuidas internas são “amortecidas” pelo fator h^2 na formação do b; já os termos de contorno \alpha,\beta entram sem esse fator (apenas nas entradas extremas de b).]

Passo 5

Existência e unicidade da solução (por que o sistema é bem posto?).
  • Propriedade da matriz A: A é simétrica e estritamente diagonal dominante por linhas? Não estritamente diagonal dominante (pois 2=|{-1}|+|{-1}| para linhas centrais), mas é simétrica definida positiva. Uma demonstração clássica: os autovalores de A são conhecidos explicitamente (matriz Toeplitz tri-diagonal):
\lambda_j = 2 - 2\cos\!\bigg(\frac{j\pi}{N+1}\bigg),\qquad j=1,\dots,N.
Cada \lambda_j>0 (porque 0<\frac{j\pi}{N+1}<\pi e \cos é estritamente menor que 1), logo todos os autovalores são positivos e A é definida positiva. Consequências:
  • Como A é invertível, para qualquer b existe exatamente uma solução x=A^{-1}b. Ou seja: existência e unicidade garantidas.
  • Intuição rápida (sem usar autovalores): z^\top A z=\sum_{i=0}^{N}(z_i-z_{i+1})^2 com z_0=z_{N+1}=0 (essa identidade mostra positividade) — quem quiser pode checar essa soma expandindo os quadrados; por ser soma de quadrados, é zero só quando todos os termos são zero, logo z=0.

Passo 6

Comportamento frente a pequenas variações nos dados — número de condição e sensibilidade.
  • Definição: o número de condição na norma 2 é
\mathrm{cond}_2(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}.
Usando as fórmulas dos autovalores,
\lambda_{\min}=\lambda_1=2-2\cos\!\bigg(\frac{\pi}{N+1}\bigg),\qquad \lambda_{\max}=\lambda_N=2-2\cos\!\bigg(\frac{N\pi}{N+1}\bigg)=2+2\cos\!\bigg(\frac{\pi}{N+1}\bigg).
  • Aproximação assintótica (fácil de lembrar e útil em provas): para N grande, \cos(\theta)\approx 1-\tfrac{\theta^2}{2} para \theta pequeno. Assim
\lambda_{\min}\approx \frac{\pi^2}{(N+1)^2},\qquad \lambda_{\max}\approx 4,
portanto
\mathrm{cond}_2(A)\approx \frac{4}{\pi^2}(N+1)^2 \sim C\,N^2\quad\text{(cresce como }N^2\text{)}.
  • Interpretação prática: uma pequena perturbação \Delta b em b causa uma perturbação em x tal que (bound padrão)
\frac{\|\Delta x\|_2}{\|x\|_2} \lesssim \mathrm{cond}_2(A)\,\frac{\|\Delta b\|_2}{\|b\|_2}.
Logo, quanto maior \mathrm{cond}_2(A), mais as pequenas perturbações em b são amplificadas nas soluções.
  • Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
    • Se N=9 (10 pontos internos?), então \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(10)^2\approx 40{,}5. Uma perturbação relativa de 10^{-6} em b pode gerar até cerca de 4\times10^{-5} de erro relativo em x.
    • Se N=99, \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(100)^2\approx 4{,}05\times10^{3}. Mesmo pequenos ruídos em b podem causar erros percebíveis em x.
  • Observação sobre origem das perturbações em b:
    • Erros ou ruídos em f aparecem em b multiplicados por h^2 (porque b_i tem h^2 f_i). Como h\to0 (N grande), h^2 é pequeno, então ruídos em f são atenuados antes de entrarem no b. Isso ajuda a reduzir a influência de ruído de f para grandes N.
    • Em contraste, erros nas condições de contorno \alpha,\beta entram diretamente nas primeiras e últimas entradas de b sem o fator h^2. Assim, um pequeno erro absoluto em \alpha ou \beta pode ter efeito relativamente maior na solução do que um erro do mesmo tamanho em f. Isso é importante ao medir/exigir precisão nas condições de contorno.
  • Conclusão sobre sensibilidade: o problema é bem posto (existe e é único), e a solução depende continuamente dos dados, mas a sensibilidade cresce com N^2. Para malhas muito finas é preciso cuidado numérico (uso de aritmética estável, métodos de solução apropriados e atenção aos erros de entrada).

Passo 7

Resumo prático — o que levar para a prova e como justificar rapidamente:
  • Mostre a discretização e escreva a equação interior:
- u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}=h^2 f_i,\qquad i=1,\dots,N,
substituindo u_0=\alpha e u_{N+1}=\beta nas equações de i=1 e i=N.
  • Escreva A, x, b como no Passo 4 (matriz tri-diagonal com 2 na diagonal e -1 nas sub/super-diagonais).
  • Para a análise: cite que A é simétrica definida positiva (autovalores positivos com fórmula explícita), portanto solução única existe para qualquer b. Use a expressão dos autovalores para obter \mathrm{cond}_2(A)\approx \tfrac{4}{\pi^2}(N+1)^2 e argumente que a sensibilidade cresce como N^2. Destaque a diferença entre ruído em f (amortecido por h^2) e ruído nas condições de contorno (não amortecido).

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\[4pt] \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & \cdots & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt] u_2\\[4pt]\vdots\\[4pt] u_N\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix} h^2 f_1 + \alpha\\[4pt] h^2 f_2\\[4pt] \vdots\\[4pt] h^2 f_{N-1}\\[4pt] h^2 f_N + \beta \end{pmatrix}.
Existência da solução: sim — A é definida positiva e invertível, logo existe solução para todo b.
Unicidade da solução: sim — inversibilidade de A garante única solução x=A^{-1}b.
Comportamento frente a pequenas variações nos dados: a sensibilidade é governada por \mathrm{cond}_2(A)=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}, com
\lambda_j=2-2\cos\!\bigg(\frac{j\pi}{N+1}\bigg),\quad j=1,\dots,N,
e a estimativa assintótica
\mathrm{cond}_2(A)\approx \frac{4}{\pi^2}(N+1)^2\sim O(N^2).
Portanto, pequenas perturbações em b podem ser amplificadas em até cerca de \mathrm{cond}_2(A) vezes na solução; ruídos em f são atenuados por h^2 antes de formar b, enquanto erros nas condições de contorno \alpha,\beta entram diretamente em b (podendo causar impacto maior).]

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